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《浅谈物理问题的向量解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、肉淡杨理问题的向量鮮出江西省永丰中学刘忠由于物理中力的合成和速度的合成都是向量的加法问题，因此，用数学中的平面向量知识来解决物理中的有关力和速度的合成问题就成了一种学科外综合的解题方法了.高中学生在学习了平面向量知识和有关物理知识后，如果数学教师在讲平面向量的应用时能举一些力和速度的合成的例子，而物理教师又能在讲力和速度的合成问题时讲一讲向量的解法，学生的综合解题能力无疑将得到提高•下面的几道题及其解法可供各位数学物理教师在教学时参考.一、速度合成问题的向量解法例1某人骑自行车以每小时akm的速度向东行驶，感到风从正北方
2、向吹来，而当风速为每小时2akm时感到风从东北方向吹来，试求实际风速和风向.解析设v为实际风速向量，a为骑自行车的人每小时akm的速度向量，则此人在无风时感到的风速向量为一亦有风时所感到的风速向量为v—a・作等腰直角三角形PAO,如图1,在等腰直角三角形PAO中，令OA=-a,PO=v,由于PO+OA=PA,从ltuPA=v-a,这就是感到的由正北方向吹来的风的风速向量.其次，延长OA到B,使AB=OA,连PB.因为A为BO的中点，PA丄BO,
3、PA
4、=
5、OA
6、,AAPBO为等腰直角三角形.于是，当图】人的速度是原来的2
7、倍时所感到的风速向量就是西.・・・图1中的v即为实际风速向量.由于
8、p6
9、=V2
10、a
11、,Alvl=V2a.代实际吹来的风是风速为血a的西北风.例2一条河的两岸平行，河的宽度为d二500m,—艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为lv】l=10kni/h,水流速度lv2l=4km/h・①试求Vi与v2的夹角（精确到1°）及船垂直到达对岸所用的时间（精确到O.lmin）;②要使船到达对岸所用的时间最少，V］与也的夹角应是多少？解析①如图2（a）,要使船垂直到达对岸，就要使旳与v2的合速度的方向正好垂直于对岸，二I
12、vI=^lV,I2—IV2I2=9.2km/h,cos=0.92,/.^24°,/.=9O+24°=114°d0.5=0・543h=3・3min.②设Vi与V2的夹角为0,如图2(b),则V1与V2在竖直方向上分速度的和为丨V1I•sin0,而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d=0.5km,从而所用的时间t二一仝，显lOsinO然当9=90°时t最小，即船头始终向着对岸时所用时间最少，为=0.05h=3min.从本题的答案可知，船垂直到达对岸所用的时间并不是最少的.二、力合成问题
13、的向量解法例3如图3,两根不可伸长的轻绳吊住一盏受重力为G的灯，开始时，轻绳OA水平，不断改换轻绳OA,使OA的悬点不断上移，同时保持轻绳OB的位置不变,则轻绳OA和OB的拉力Ta和Tb的大小将如何变化？解析对灯进行受力分析・・・・呢与竖直方向的夹角为OC不变，设OA'与竖直方向的夹角为贝IJIta
14、Jtb
15、^
16、g
17、sinasin0sin（9+a），当E逐渐由90°变化到0°时,
18、G
19、-sinOsin（0+a）e+a由90°+a变化到a,Asin(0+a)先增大后减小,从而itai
20、GI•sin0sin（0+a）sinO
21、cosa+cosOsina
22、GI•sin0冏cosa+cotOsina先减少后增大，且当e+a=90°时,111罰=冏或1101・同理，当。逐渐由90°变化到0。时，ITb逐渐减小,但无最小值.例4如图4,木块重量为G,与水平支撑面间的滑动摩擦系数为f,设拉力P与水平面间的夹角为a,试求角a为多大时拉动木块最省力？解析如图4所示，画出木块的受力图•设木块所受支撑面的支撑力为N,则滑动摩擦力为f・N,于是，p・cosa=f•N9IIN+p・cosa—G解之，得IPI=cosa+fsinaVf•IGI>0且为定值，•••欲
23、使IPI最小，必须使cosa+fsina最大••••=Jl+f$•sin（a+p）•令tanB/cosa+f•sina=71+f2sina•/+cosa•/IViTf7Vi+FJ=—,0v卩v兰，即B=arctan—,贝!j当a+P=—时,cosa+fsina取得最大值，最大值为f2f2Jl+f?•因此,当a=——arctan—时拉动木块最省力.2f（本文发表于《中学数学研究》2004年第11期）
