平面向量问题的常规解法

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1、平面向量问题的常规解法　　摘要：平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣且有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？本文就此问题作探讨.　　关键词：平面向量常规解法高中数学教学　　平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣而又有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？我结合教学体会小结如下.　　一、合理拆分法　

2、　例1：已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则■?■的值等于多少？　　分析：只要把向量■拆分为■+■，然后根据外心定义及一个向量■在■与■上的投影即可解决.答案为5.　　例2：在平面上，■■⊥■■，

3、■■

4、=

5、■■

6、=1，■=■■+■■.若

7、■

8、<■，则

9、■

10、的取值范围是？摇？摇.　　分析：只要把已知向量与所求向量转化成以O点为起点的向量即可解决问题.　　解：∵■■⊥■■，5　　∴■■?■■=（■■-■）?（■■-■）=■■?■■-■■?■-■?■■+■■=0，　　∴■■?■■-■■?■-■?■■=-■■.　　∵■=■■+■■

11、.　　∴■-■=■■-■+■■-■，　　∴■=■■+■■-■.　　∵

12、■■

13、=

14、■■

15、=1，　　∴■■=1+1+■■+2（■■?■■-■■?■-■■?■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.　　∵

16、■

17、<■，∴0≤

18、■

19、■<■，∴0≤2-■■<■，　　∴■<■■≤2，即

20、■

21、∈（■，■].　　二、数形结合，建立坐标系法　　例3：　　如图，若a=■，b=■，a与b夹角为120°，

22、a

23、=

24、b

25、=1，点P是以O为圆心的圆弧■上一动点，设■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.　　分析：建立适当的坐标系可以把向量的运算转化成坐标运算.　　解：以O为原点，OD为x轴

26、建立直角坐标系，　　则D（1，0），E（-■，■）.　　设∠POD=α（0≤α≤■），则P（cosα，sinα）.　　由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，　　所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，　　所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.5　　又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.　　利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标.　　三、两边平方或同时点乘同一个向量法　　例3的解法二：设

27、∠POD=α（0≤α≤■），由■?■=x■?■+y■?■，■?■=x■?■+y■?■，　　可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.　　于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.　　又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.　　例4：（2013?湖南改编）已知a，b是单位向量，a?b=0，若向量c满足

28、c-a-b

29、=1，则

30、c

31、的取值范围是？摇？摇.　　分析：对条件

32、c-a-b

33、=1两边平方，这样可以很顺利地打开解题思路，　　解：∵a?b=0，且a，b是单位向量，∴

34、a

35、=

36、b

37、=1.　　又∵

38、c-a-b

39、■=c■-2c?（a+

40、b）+2a?b+a■+b■=1，　　∴2c?（a+b）=c■+1.　　∵

41、a

42、=

43、b

44、=1且a?b=0，∴

45、a+b

46、=■，　　∴c■+1=2■

47、c

48、cosθ（θ是c与a+b的夹角）.　　又-1≤cosθ≤1，∴0

49、c

50、，　　∴c■-2■

51、c

52、+1≤0，　　∴■-1≤

53、c

54、≤■+1.5　　如正弦定理的证明就是用的两边同时点乘一个向量的方法，余弦定理的证明就是用的两边平方法，两种证法参见苏教版必修五课本.　　四、基底法（运用平面向量基本定理、平行向量定理）　　例5：（2012?湖州模拟）如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线M

55、N分别交AB，AC于M，N两点，若■=x■，■=y■，试问：■+■是否为定值？请证明你的结论.　　分析：以不共线的两个向量■、■为一组基底，把其他向量用这个基底线性表示.　　解：■+■为定值，证明如下：　　设■=a，■=b，则■=xa，■=yb，　　■=■■=■（■+■）=■（a+b），　　所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，　　■=■-■=yb-xa=-xa+yb.　　因为■与■共线，所以存在实数λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因为a与b不共线，所以■-x=-λx■=λy，　　消去