空间向量的距离问题

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1、3.2.2立体几何中的向量方法（三）空间“距离”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条

2、棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。2、向量法求点到平面的距离：DABCGFExyzAPDCBMN解：如图,以D为原点建立空间直

3、角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)APDCBMNzxy小结1、E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α的法向量,则点E到平面的距离为:（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离点面距离解：∴所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？