经济应用数学教案3.1.6

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1、3.1.6线性方程组教学目的：掌握线性方程组解的存在定理，会用初等变换求解线性方程组。内容：1・线性方程组的矩阵表示2.线性方程组解的判定3.线性方程组解的求法教学重点：线性方程组解的求法教学难点：线性方程组解的存在定理教具：多媒体课件教学方法：启发式教学，精讲多练教学过程：1.引入新课：由初等行变换解线性方程组引出线性方程组解的存在定理，并给出用初等变换求解线性方程组的方法。2.教学内容：一、线性方程组的矩阵表示线性方程组的一般形式如下:q內+如勺+•••+□”£a2lxl+a22x2+--+a2nx/l=b24"+匕”2兀2+•••+%”£=_线性方

2、程组（1）的一个解是一组数（你心，…，心），程都成立。（1）用它依次代替（1）中的未知数西宀，…，兀“后，⑴的每个方bamam2ba2nb2••••••%bmb2■■■称矩阵A为线性方程组（i）的系数矩阵，矩阵人为线性方程组（1）的增广矩阵，列矩阵X为线性方程组（1）的未知数矩阵，列矩阵B称为常数项矩阵・方稈组的矩阵形式为显然任何一个线性方程组都有唯一的增广矩阵与之对应.【例1］写出线性方程组“+3x2+2x3+4x4=-6的矩阵形式与增广矩阵。1111解设人=1324201-1则方程组的矩阵形式为方程组的增广矩阵为(2)AX=B"11110_13

3、24-6201-16当线性方程组(1)的常数项满足0=6=・・・=5=0时，即坷內+说花+…+气暫=°。21兀1+冬2兀2+…+。2”益=0■■亠届+d沁兀2+•••+%"“=°称它为齐次线性方程组，它的矩阵形式为AX=0二、线性方程组解轡J定定理1设4、7分别是线性方程组(1)的系啓矩阵与增广矩阵，那么(1)线性方程组(1)有惟一解or(A)=r(A)=n；(2)线性方程组(1)有无穷多解or(A)=r(A)

4、有解，X=0永远是它的解，称为零解。推论设A是齐次线性方程组(2)的系数矩阵，那么(1)齐次线性方程组(2)只有零解or(A)=n；(2)齐次线性方程组(2)有非零解or(A)

5、］+x2+兀3+兀4=0兀］+3花+2召+4x4=-6是否有解。2兀］+兀3—兀4=6j1110__11110_1324-6②Ox(-1)③+①X(-2)0213-6201-16A0-2-1-36A=1011由r(A)=r(A)=2<4,3-600故方程组有无穷多解。厂£+X2+X3=1【例4】判断线性方程组_111r_1111■7二021-1③+①►021-1-1312.0423__1111■12兀2+禺=一1是否有解。-%!+3兀2+禺=2③+②X(-2)心）=2,心）=3,故方程组无解。三、线性方程组解的求法【例5］求【例2］中线性方程组的解。解对

6、【例2】所得的阶梯形矩阵继续施行初等行变换，得行简化阶梯形矩阵r1-1-89601所以方程组的解为舛二一&兀2=9,“=6。【例6］求【例3］中线性方程组的解。解对【例3】所得的阶梯形矩阵继续施行初等行变换，得行简化阶梯形矩阵14-10-662J_20_12320与原方程组同解的方程组为令x3=q,x4=c2,得原方程组的解为其中c「c?为任意常数。这种解的形式称为线性方程组的通解或一般解。【例7】求解齐次线性方程组+x2-2x3+3x4=0x2+无3-x4=0+2x2-x3+2x4=0X]+解该齐次线性方程组的系数矩阵'21-23__10-34_32-

7、12——►•…—►014-5_111-1_0000_与原方程组同解的方程组为%!-3x3+4x4=0x2+4x3一5x4=0令x3=q,x4=c2,得原方程组的通解为【例8】当a、b为何值时，方程组—X)+花一3无3=22xt-x2+ax3=b无解？有惟一解？有无穷多解?_102-r②+①102-1_A=-11-32③+(DxC21-112-1ab__0-1<7-4b+2则有因此,2-1-11ci—5/?+3心）=心）=2（当a=5时）3（当心5H寸）2（当且庆-3时）3（其他）当。=5且5工-3时，方程组无解；当a主、时，方程组有惟一解；当«=5且

8、b二-3时，方程组有无穷多解。【例9］某百货商店出售四种型号的衬衫：小号、中号、