经济应用数学教案4.1.3

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1、4.1.3随机变量的数字特征教学目的：理解均值和方差的概念及性质；掌握均值及方差的计算方法及随机变量的数字特征与典型分布参数间的关系。内容：1、均值和方差的概念及性质2、随机变量的均值和方差的计算3、几种典型分布的均值和方差教学重点：均值和方差的概念、性质及计算，二项分布、正态分布的均值和方差教学难点：几种典型分布的均值和方差教具：多媒体课件教学方法：精讲，多练教学过程：1、引入新课：随机变量的概率分布和密度函数都能完整地描述随机变量的概率特征，但在实际问题中寻求概率分布和密度函数往往是很麻烦的

2、。实际告诉我们，很多实际问题中并不需要求得随机变量的分布，只需找出某些反映随机变量概率特征的数值。为表示随机变量某些概率特征的数字而引岀随机变量的数字特征。2、教学内容：一、均值的概念1、离散型随机变量的均值定义1设离散型随机变量X的概率分布为Xx2…£PPPl・••Pn则称和数工Xkpk=+兀2〃2+……+^nPn为随机变量X的均值或数学期望，记1=1作E（X）,即E（X）=*]#]+x2p2+……+xnpn注意：当X可能取的值有无穷多个时，定义要求级数XPk绝对收敛。k=显然，E（X）是

3、一个实数，当X的概率分布为已知时，E（X）可由公式£xR算得,山1它形式上是X可能值的加权平均，实质上它体现了随机变量X取值的真正的“平均”。【例1】有一批钢筋共10根，抗拉强度指标为120和130的各有2根，125的有3根，110,135,140的各有一根，求它们的平均抗拉强度指标。解：抗拉强度为随机变量X,其概率分布为X110120125130135140P11021031021011011012321i则E（X）=110x丄+120x±+125x2x130x=+135x丄+140x丄=12

4、6101010101010所以平均抗拉强度为126o【例2]甲，乙两人打靶，所得分数分别为XPX2,按如下规则记分：规定射入区域d得2分，射入区域冬得1分，射入区域勺得0分（如下图）。显然，X,,X2为随机变量，英分布分别如下：012X?012P00.20.8P0.60.30」试以平均分数为准则评定他们成绩的好坏。解：计算X

5、X2的数学期望E(Xj=0x0+1x0.2+2x0.8=1.8E（X2）=0x0.6+1x0.3+2x0」=0.5e（x,）,e（x2）可分别视作甲，乙两人打靶的平均成绩,

6、显然甲的成绩比乙的成绩好得多。【例3】据统计，一位四十岁的健康者（一般体检未发现病症），在5年内仍然活着和自杀死亡的概率为p（0a）,b应定为何值才能使保险公司可期望获利？若有加人参加保险，保险公司可期望从中获利多少？解：设X表示保险公司从一个参加者身上所得的利润，则X是一个随机变量，其分布为Xaa-hPPl-p保险公司期望获利为£

7、(X)>0,而E(X)=aP^(a-b)(l-p)=a-b(-p)>0所以，a

8、dx=fxp{x)dx4-fxp{x)dx+fxp{x)dxJ—ooJ—JaJhcafb]c+oo=x-Odx+xdx+兀・0必J-8b—aJb1X2b1b-a2ab-a【例5]设连续型随机变量X的概率密度函数为x>0x<0求E(x)。解：e(x)=£加)=「xe~xdx=-£xd(e~x^0+1=1r+£厂必=°一[e~xd(-x)=-e二、随机变量函数的均值（1）当X为离散型随机变量，其概率分布为P（X=xk）=pk=时,e（y）=e[/（x）]=£/（“）几"1（2）当X为连续型随机变量，

9、且概率密度为〃（兀）时,£（y）=e[/（x）]=匚/（咖（x）力【例6】设X的概率分布为X-1023p18143814求：E（X）,£（X2）,£Isin

10、x解：E（X）=（-l）x-+0x-+2x-+3x-=—84848E（X2）=（-1）2x-+02x-+22x-+32x-=—''84848Esin-X=sin1兀、L2丿【例7】已知X〜TV（0,解：因为X〜“（0,1）,则概率密度函数为i_£於）育e2（-OO