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1、(理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题)10.8离散型随时机变量的期望与方差1．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望，简称期望．2．方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么，Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．3．期望的性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b.
2、4．方差的性质：(1)D(aξ＋b)＝a2Dξ；(2)Dξ＝Eξ2－(Eξ)2.ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…1．设随机变量ξ的取值为1,2,3,4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望Eξ＝3，则a＋b＝________.答案：2．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是________元．答案：4760投资成功投资失败192次8次3．已知ξ服从二项分布，即ξ～B(100，)，则E(2ξ＋3)＝________.解析：由
3、已知Eξ＝100×＝50，∴E(2ξ＋3)＝2Eξ＋3＝103.答案：1034．(长沙市一中高三月考)某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位数N＝，其中N的各位数字中，n1＝n6＝1，nk(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ＝n1＋n2＋…＋n6，问ξ＝4时的概率为________，ξ的数学期望是________．解析：P(ξ＝4)＝，ξ的数学期望是2P(ξ＝2)＋3P(ξ＝3)＋4P(ξ＝4)＋5P(ξ＝5)＋6P(ξ＝6)＝.答案：1.求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列然后利用公式计算．2．由ξ的期望方差求aξ＋b的期望方差是常考题之一
4、，常见根据期望和方差的性质求解．【例1】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B1A2和B2A3和B3现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η(1)求ξ，η的概率分布；(2)求Eξ，Eη.解答：(1)ξ，η的可能取值分别为3,2,1,0.P(ξ＝3)＝，P(ξ＝2)＝P(ξ＝1)＝，P(ξ＝0)＝根据题意ξ＋η＝3，所以P(η＝0)＝P(ξ＝3)＝，P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，P(η＝2)＝
5、P(ξ＝1)＝，P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝.(2)Eξ＝；因为ξ＋η＝3，所以Eη＝3－Eξ＝.变式1.甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望．(精确到0.0001)解答：由已知随机变量ξ的取值为3,4,5，P(ξ＝3)＝0.63＋0.43＝0.28；P(ξ＝4)＝×0.62×0.4×0.6＋×0.42×0.6×0.4＝0.3744；P(ξ＝5)＝×0.62×0.42×0.6＋×0.42×0.62×0.4＝0.3456.因此ξ的
6、概率分布列为：ξ的期望Eξ＝3×0.28＋4×0.3744＋5×0.3456＝4.0656.ξ345P0.280.37440.3456二项分布的期望和方差除了根据定义去求，可利用公式求解．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．【例2】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：(1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的期望．解答：解法一：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5.由等可能性事件的概率公式得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝P
7、(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝从而，ξ的分布列为：ξ012345P(2)由(1)得ξ的期望为：Eξ＝解法二：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B(5，)，即有P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3,4,5.由此计算ξ的分布列如解法一．(2)Eξ＝.解法三：(1)同解法一或解法二．(2)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期
