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1、2.3离散型随机变量的期望与方差2.3离散型随即变量的期望与方差教学目标:了解离散型随机变量的期望、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望、方差.教学重点:随机型离散变量的期望与方差概念.教学难点:随机型离散变量的期望与方差概念.教学过程:复习:1.随机变量的概念,离散型随机变量的概念,分布列的概念与性质;2.二项分布的符号表示,通项公式.对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律.在实际问题中,我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,例如要了解某班同学在一次数学测验中的总
2、体水平,很重要的是看平均分(期望);要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”,则要考察这个班的数学成绩的方差.一.期望:引例:某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售,如何对混合销售定价才合理？1.期望的定义:一般的,若离散型随机变量的概率分布为Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称,EX=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为X的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.2.数学期望的意义:期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.3.Y=aX+b的期望第8页共8
3、页2.3离散型随机变量的期望与方差Y=aX+b,其中a,b均为常数,Y也是随机变量,因为P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,3…所以Y的分布列Y=aX+bax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…于是EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…=a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)=aEX+b,即E(aX+b)=aEX+b例1.两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数X,Y的分布列是X0123P0.40.30.20.1Y0
4、123P0.30.50.20如果两台车床的产量相同,哪台车床更好一些？解:因为两台车床的产量相同,所以可以通过比较两台车床每天生产中出现的次品数的期望值来评判那台车床更好一些.EX=00.4+10.3+20.2+30.1=1EY=00.3+10.5+20.2+30=0.9,因为EX>EY,所以第二台车床比第一台车床好.在实际工作中,经常通过比较随机变量的期望做出某种判断.练习1:某射手射击所得环数X的分布列如下:第8页共8页2.3离散型随机变量的期望与方差X45678910P0.020.040.060.090.280.29
5、0.22求X的期望解:EX=0P(X=0)+1P(X=1)+…+10P(X=10)=8.32.注意:(1)若有另一名射手,若已知其射击所的环数的分布列,也可求得他n次射击的平均环数,两人可作比较,从一个方面反映了射手的设计水平,从而请学生思考期望的作用.从平均值当面反映了水平,当然平均值高的水平高.例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分ξ的期望.解:因为P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以EX=1P(X=1)+0P(X=0)=10.7+0
6、0.3=0.7罚两球:得到的期望是1.4;罚三球:得到的期望是2.1一般地,如果随机变量X服从两点分布,则E(X)=p证明E(X)=1p+0(1-p)=p如果随机变量X服从两点分布,则E(X)=p观察规律,总结二项分布的期望值可能是什么.4.二项分布的随机变量的期望在一次试验中此事件平均发生p次,我们有理由猜想,在n次独立重复试验中,此事件平均发生p次,即若X∽B(n,p),则EX=np.下面对此作出证明:因为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n–k=Cnkpkqn–k,应用kCnk=k第8页共8页2.3离散型随机变量的期
7、望与方差所以EX=0Cn0p0qn+1Cn1p1qn–1+2Cn2p2qn-2+…+kCnkpkqn-k+…+nCnnpnq0=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np所以,若X∽B(n,p),则EX=np应该先判断是否是二项分布,再来应用公式计算.练习2.连续抛掷硬币5次,所得正面向上的次数的期望.EX=2.5练习3.姚明罚球命中率为0.8,再罚球10次得分数X~B(10,0.8),10次得分的期
8、望E(X)=练习4.随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数X的期望.解:抛掷骰子所得点数X的概率分布为X123456P所以EX=1+2+3+4+5+6=(1+2+3+4+5+6)=3.5直接从平均值的角度来猜想也能得到.例3.一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选择题都有4个选项,其中有且仅有一个选项是
