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时间:2019-09-09
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1、第二十二题(函数综合题)——不怕繁杂的代数推理题20」、不等式证明常用方法:⑴比较法:④利用常用结论:步骤:a.作差:对要比较大小的两个数(或式)作差.b.变形:对差进行因式分解或配方成儿个数(或式)的完全平方和.c.判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号.【注意】:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较人小.②求商比较法:要证且只要证“.(2)综合分析法:由因导果,执果索因;耍证……,只需证……,只需证……(3)利用基木不等式(柯西不等式)(4)反证法:对于“至多^至少”问题、存在性问
2、题、否定形式的命题等,总Z"正难则反"(5)放缩法:1.定义:指若直接证明不等式较因难,而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小,而达到证明不等式成立的一种方法.即证明A<3,可构造出函数式C,使AvC,且CvB,其中数学式C,常通过将A放大,或将B缩小而构成.2.放缩法证明不等式的依据:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分了异分母(或同分母异分了)的两个分式人小的比较等;3.放缩法的实质是非等价转化,放缩没有确定的准则和程序,放缩目的性很强,需按题意适当放缩.即通过放缩将复杂的一边化简,凑出另一
3、边的形式.4•放缩法的一些操作技巧:①添加或舍去-些项,如:牯+1>制;皿+°〉";W11FAHW②将分子或分母放人(或缩小)2*〃+1n+2n+32n门+1;Iog3-lg5<(lg3+lg5)2=lgV15b>
4、0,m>0,n>0<—<<1<<—则a-maa+mb+nb1234【特例】:2345,2h+12h+2<2n2/z+l等可推知:1114(a/Th-VI^l)211k3~k2k伙—I*伙2—i)(jm+jF「)2一疋一ivrn"vm5.放缩法的常见题型:①一边为无限项的和或积,另一边为定值;②在证明涉及求和的不等式时,通过逐项放缩的手段,一方面放缩,另一方面使放缩之后便于求和,以达到求和目的;③恰当引入辅助隊I数,通过函数单调性达到放缩口的;④对涉及正整数农的不等式,可以先考虑用数学归纳法进行整体放缩;⑤运用公式
5、性质,函数单调性;⑥运用绝对值不等式;⑦运用二项式定理,利用三角有界性放缩,利用三角形的三边关系进行放缩;⑧舍弃或添加一些项进行放缩.将部分项放缩,或每项放缩;⑨裂项利用一些熟悉的关系式放缩;6.放缩尺度:放缩法证明不等式,需要根据不等式两端的特点及已知特点,谨慎的采取措施,进行适当的放缩,任何不适立都会导致推证的失败,也就是运用放缩法证明不等式要把握放缩的尺度;放缩法是一种证题技巧,要想用好证题,必须有明确的冃标.H标可以从要证叨的结论中考杏,即要认真的分析结论特点,由结论的特点探究解题规律;放缩尺度:放缩到可
6、裂项,放缩到可用公式,……(6)利用函数的单调性(本质仍然是放缩法,打换元法、最值法紧密联系)(7)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元.如:已知(兀一可设x=a+rcos0,y=b+厂sin0已知P+#w1,可设X=厂cos。,y=z*sin0(0w厂W1);22xy—+—=1已知/b‘口j设x=acosO.y=bsin0可设⑻最值法,如:°>m)赵值,则⑴恒成立(心小值,则Qjg恒成立.(9)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式來证明不等
7、式;具体运用:是构造斜率、点到肓线距离、两点间距离、肓线与圆的位置关系、辅助圆等.(10)数学归纳法:数学归纳法证题的步骤:①即先验证使结论冇意义的最小的正整数吗,即当"=心时,命题成立;②假设当n=k(keNk*)时,命题成立.根据这个假设,推出当n=k+1时,命题也成立;③由①②可知命题得证。以上三个步骤缺一不可。④用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式(或不等式)时,关键在于“先看项”,弄清式子的构成规律,等式(或不等式)的两边各有多少项?项的多少与卅的取值是否有关?由n=k至=£+1时,等式的两边会增加
8、多少项?增加怎样的项?20.2、三个“二次”1.二次两数的基本性质(1)二次函数的表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x—xl)(x—x2);y=a(x—x0)2+m⑵当a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0=2(p+q).b_若—2avp,贝ljf(p)=m,f(q)=M;b_b_若pW—2d
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