高考数学复习点拨 抽象函数综合题的解题策略

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1、抽象函数综合题的解题策略只给出函数符号或条件及一些间接关系，而没有给出函数的具体解析式或者图象，这样的函数称为抽象函数.这类试题，主要以函数的概念和性质为背景，以函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想为主线，以考查学生的各种能力为目的，在知识网络交汇处设计试题.此类试题往往具有概念抽象、隐蔽性与灵活性强、综合性高的特点，因此它既能考查函数的各种性质，又能考查学生对数学语言的阅读理解和转译能力，同时能考查出考生进入高校继续学习的潜能，因此在此有必要对抽象函数综合题的求解策略进行探讨.一、适当赋值赋值主要从以下方

2、面考虑：①令x=…，﹣2，﹣1，0，1，2，…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x2，y=x1或y=，且x10时，f(x)>0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.分析：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0，又令y=﹣x，f(

3、x)+f(﹣x)=f(x﹣x)=f(0)=0，即f(﹣x)=﹣f(x)，∴f(x)是奇函数，再设x1、x2∈R，且x10，∴f(x2﹣x1)>0，从而f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(﹣∞.+∞)上是增函数.二、变量代换根据题设条件中所给等式或不等式的结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换为

4、的需要的量(要注意新换的变量的取值范围，要与原题设条件等价)，可以得到较为简单的等式或不等式，然后再设法作进一步的转化从中获解，例2已知函数f(x)存在反函数且f(x)+f(﹣x)=2，则f－1(x﹣1)+f－1(3﹣x)=________.分析：本题无法直接求出f－1(x)，若将已知等式左边看成两个函数，利用变量代换，则有如下简解：令y1=f(x)，y2=f(﹣x)，则x=f－1(y1)，﹣x=f－1(y2)，且当y1+y2=2时，有f－1(y1)+f－1(y2)=x﹣x=0，∵(x﹣1)+(3﹣x)=2，∴f

5、－1(x﹣1)+f－1(3﹣x)=0.三、利用函数性质根据题目所给的条件，分析、探求函数具有哪些特殊的性质，比如：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，然后充分利用这些性质进行求解.例3f(x)是定义在R上的函数，且满足如下两个条件：①对于任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0，且f(1)=﹣2.求函数f(x)在[﹣3，3]上的最大值和最小值.分析：设0≤x1≤x2≤3，由条件①得f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1)，即f(x2﹣x1)=

6、f(x2)﹣f(x1)，∵x2﹣x1＞0，由条件②得f(x2﹣x1)＜0,∵f(x2)﹣f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在[0，3]上是减函数，在条件①中令x=y=0，则f(0+0)=f(0.)+f(0)，∴f(0)=0.再令x=﹣y，得f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，∴f(﹣x)=﹣f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x)在[﹣3，0]上是减函数，又∵当x＜0时f(x)=﹣f(﹣x)＞0，从而f(x)在[﹣3，3]上是减函数，∴f(x)max=f(﹣3)=﹣f(3)=﹣f(1+2)=﹣f

7、(1)﹣f(2)=﹣f(1)﹣f(1)﹣f(1)=﹣3f(1)=6，f(x)min=f(3)=﹣f(﹣3)=﹣6.例4已知函数f(x)=ax5+bsinx+3，且f(﹣3)=7，求f(3)的值.解析:f(x)的解析式中含有两个参数a、b，却只有一个条件f(﹣3)=7，无法确定出a、b的值，因此函数f(x)(解析式不确定)是抽象函数，注意到g(x)=ax5+bsinx=f(x)﹣3是奇函数，可得g(﹣3)=﹣g(3)，即f(﹣3)﹣3=﹣[f(3)﹣3]，f(3)=6﹣f(﹣3)=﹣1.四、正难则反当关于某些抽象函

8、数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略，而此法是处理“是否存在”型函数综合题的常用方法.例5已知函数f(x)在区间(﹣∞，+∞)上是增函数，a、b∈R，(1)求证：若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论.证明：(1)由a+b≥0，得a≥﹣b，由函数f(x)在区间(