高考数学复习点拨抽象函数综合题的解题策略.doc

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1、抽象函数综合题的解题策略只给出函数符号或条件及一些间接关系，而没有给出函数的具体解析式或者图彖，这样的函数称为抽彖函数•这类试题，主要以函数的概念和性质为背景，以函数与方程、转化与化归、数形结合筹数学思想为主线，以考查学生的各种能力为目的，在知识网络交汇处设计试题.此类试题往往具有概念抽象、隐蔽性与灵活性强、综合性高的特点，因此它既能考查函数的各种性质，乂能考查学牛对数学语言的阅读理解和转译能力，同时能考查出考牛进入高校继续学习的潜能，凶此在此有必要对抽象函数综合题的求解策略进行探讨.一、适当赋值赋值主要从以下

2、方而考虑：①令尸…，-2,-1,0,1,2,…等特殊值求抽象函数的函数值；②令y=xx或.尸丄，口加5,判定抽彖函数的单调性；③令y=-%,判定抽象Xi函数的奇偶性；④换北为卅T,确定抽象函数的周期；⑤用尸牛号或换/为丄等来解答有关抽22x象函数的其它一些问题.例1己知函数的定义域为R,对任意乩y满足/U+0二当Q0时，f(x)>0.试判断代方的奇偶性和单调性.分析：在f(对y)=f(x)+f(_0中，令x=y=Q»得f(0)+f(0)=0,A0)=0,又令y=-Xyf(x)+f(-x)=f(x-x)=/(0)

3、=0,即/'(-x)--Ax)，•:f(x)是奇函数，再设山、且x0,/./(A2-必)>0,从而f{X2)>/(Al),f(x)在(-8.+8)上是增函数.二、变量代换根据题设条件中所给等式或不等式的结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换为的需要的暈(要注意新换的变量的取值范围，要为原题设条件等价)，可以得到较

4、为简单的等式或不等式，然后再设法作进一步的转化从中获解，例2已知函数£(力存在反函数且・0二2,则严(1l)+rl(3・x)=・分析：本题无法直接求出厂"力，若将已知等式左边看成两个函数，利用变量代换，则有如下简解：令y、=fg,y2=f(-x),则x=f[(yi),-x=fy^),圧iyi+y2=2时有厂(/)+厂(乃)-^=0,V(%-1)+(3-x)=2,・••广(x-1)+厂(3-x)=0.三、利用函数性质根据题kl所给的条件，分析、探求函数具有哪些特殊的性质，比如：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称

5、性等等，然后充分利用这些性质进行求解.例3是定义在R上的函数，且满足如下两个条件：①对于任意乙yWR,有②当疋>0时,ra)0,由条件②得f(x2-Xi)<0,•//(%2)-f(x)<0,即fix'

6、令x=-yt得fx-x)=fx)+/'(-X),/./'(-x)=-/'(%),Af(x)是奇函数,・・・f(*)在［-3,0］上是减函数,又・・•当XV0时Ax)=-A-^)>0,从而f(x)在［・3,3］上是减函数,A/U).,v=A・3)=・A3)=・f(l+2)=・Al)・f(2)二-Al)・Al)・Hl)二・3AD=6,⑶二-/(-3)=-6.例4已知函数f(x)=ay+bsi/?a+3,且f(・3)=7,求f(3)的值.解析:f(力的解析式中含有两个参数a、b,却只有一个条件/'(-3)=7,无

7、法确定出a>b的值,因此函数f(0(解析式不确定)是抽象函数,注意到g(-¥)=a/+bsi/7A=/U)・3是奇函数，可得g(-3)=-g(3),即/V3)・3二・［f(3)・3］,f(3)=6・f(・3)=-l.四、正难则反当关于某些抽象函数的命题不易从正而直接证明吋，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略，而此法是处理“是否存在”型函数综合题的常用方法.例5已知函数f(x)在区间(-8,+8)上是增函数，a、bwR,(1)求证：若a+b^O,则f(a)+f(b)Nf(-a)+f(-b)；(2)判断⑴中

8、命题的逆命题是否正确,并证明你的结论.证明：(1)由a+b$O,得aM-b,由函数f(0在区间(飞,+8)上是增函数,得f(R3f(-b),同理,f(b)Mf(・a),・・・f(a)+f(b)Mf(・b)+f(-a),即f(a)+f(b)Nf(・a)+f(・b).(2)屮命题的逆命题是：若f(a)+f(b)-a)+f(-b),则a+bMO,此逆命题为真命题,现川反证法证明如下：假设a+