高等数学第５章教案

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1、数学史话在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到了人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里.恩格斯积分的起源屮国古代数学家对面积、体积问题进行过大量研究，其屮一些工作可以被看作积分思想的萌芽.公元263年，魏晋间杰出数学家刘徽为《九章算术》作注，在关于而积、体积的多处注文屮体现了初步的积分思想・14世纪20年代至40年代，牛津大学默顿学院(MertonCollege)的一批逻辑学家和自然哲学家在研究所谓“形态幅度”时,得到一个重要结果：如果一个物体在给定的一段时间

2、内进行匀加速运动，那么它经过的总距离s等于它在这段时间内以初速度V。和末速度Vt的平均速度(既在这一段时间的屮点的瞬时速度)进行匀速运动所经过的距离.14世纪中叶，法国学者奥而斯姆(N.Oresme,约1323-1382)应用他的均匀变化率概念和图解表示法给出了上述例题的儿何证明.他的证明虽然在近代意义下不太严格，但基本思想与后来的定积分相当接近.17世纪上半叶，欧洲一些数学家继承并发展了历史上的“不可分量”方法以处理面积、体积问题，成为积分方法的直接先导•意大利数学家卡瓦列里的《用新的方法推进连续体的不可分量几何学》(1635)标志着求

3、积方法的一个重要进展.在这部著作中，卡瓦列里提出了一个较为一般的求积方法.大约在1637年，法国数学家费马(P.deFermat,1601-1665)完成了一篇手稿《求最大值和最小值的方法》.在积分概念与方法的早期发展中，这一工作占有极其重要的地位.费马不仅成功地克服了卡瓦列里不可分暈方法的致命弱点，而且儿乎采用了近代定积分的全部过程.1666年10月，牛顿完成了他在微积分学方面的开创性论文《流数短论》，在这篇短文中，牛顿不仅讨论了如何借助反微分来解决积分问题，即微积分基本定理，而II明确指出反微分“总能做岀可以解决的一切问题”.与牛顿的

4、积分概念不同，莱布尼兹的积分的曲线下面积的分割求和或者说是微分的无穷和，也就是今天所说的定积分.明确地将积分£ydx等同于高为y、宽为dx的一些无穷小矩形之和.1686年莱布尼兹发表了他的第一篇积分学论文《深奥的儿何与不可分量及无限的分析》，这篇论文论述了积分与微分或切线问题的互逆关系，正是在这篇论文中，积分号“J”第一次出现于印刷出版物上.后来获得普遍的接受并沿用至今.定积分是组成积分学的另一基本部分，它与不定积分在概念上有根本的区别又有密切的联系.定积分在工程和科学技术领域内有着广泛的应用.本章将从实际例题出发引出定积分概念，然后讨论

5、定枳分的性质、计算方法及定积分在几何、物理等方面的应用.5.1定积分的概念与性质5.1.1两个实例1.曲边梯形的面积在直角坐标系下，由闭区间［⑦切上的连续曲线A=/（x）（/（x）>0）,直线x=a,x=b利y=0（即兀轴）所围成的平面图形AabB叫作曲边梯形（如图5-1）.在x轴上区间［⑦切内的线段叫作曲边梯形的底.下面讨论曲边梯形面积的计算问题.图5-1在初等数学屮，我们知道矩形面积=底Xr&j,将曲边梯形和矩形作比较，区别在于：矩形的四边是直的，而曲边梯形有一边是曲的.这样就导致曲边梯形的高/（兀）是随x的变化而变化的，计算其面积就

6、有难度.但由于曲线y=/（兀）是连续的，所以，当点兀在区间［Q,勿上变化很小时，则相应的高/（兀）也就变化不大.基于这种想法，可以用一组垂直于x轴的直线将曲边梯形AabB分割成若干个小曲边梯形，然后对每一个小曲边梯形都作一个相应的小矩形，用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积.图5-2这样用这些矩形的面积和就可以近似地代替曲边梯形AabB的面积.显然，分割得越细，近似程度就越好，当这种分割无限加细，即把区间［d,b］无限细分，使每个小区间长度趋于零，则所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形AabB的面积.根据以上分析，我们可按如下步骤计算曲

7、边梯形图5—2的面积，如图5-2所示<1）分割：任取分点a=兀。v旺V兀2v…V

8、梯形的面积山厂即A5严/©)口(21,2,…对.(3)求和：把这n个小矩形的面积加起来，就得到曲边梯形的面积S的近似值,即s«/($)心】+/©)»+•••+/©)心”记为S=/=1(4)取极