高等数学电子教案：第10章 重积分

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1、章节第十章重积分§1二重积分的概念与性质课时2教学目的理解二重积分的定义，掌握二重积分性质。教学重点及突出方法二重积分的定义及性质。教学难点及突破方法二重积分的定义。通过计算曲顶柱体的体积及平面薄片的质量问题，利用与定即分的定义的概念的引入中相同的方法引入二重积分的定义。相关参考资料《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P199-P204《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P536-P538教学过程教学思路、主要环节、主要内容10.1二重积分的概念

2、与性质一、二重积分的定义：二重积分通过计算曲顶柱体的体积及平面薄片的质量问题引入的。定义:设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，其中Δσi表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个Δσi上任取一点(ξi，ηi），作乘积f(ξi，ηi）Δσi（i=1,2,…,n,），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D>上的二重积分，记作，即。（*）其中f(x，y)叫做被积函数，f(x，y)dσ叫做被

3、积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和。在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域Δσi的边长为dxi和dyi，则Δσi=dxi·dyi。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。这里我们要指出，当f（x，y）在闭区域D上连续时，（*）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f（x，y

4、）在D上的二重积分必定存在。二、二重积分的性质二重积分与定积分有类似的性质：性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面。性质2函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。性质3如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。性质4如果在D上，f（x，y）=1，A为D的面积，则性质5如果在D上，f（x，y）≤g（x，y），则有不等式性质6设M，m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，A是D的

5、面积，则有性质7（二重积分的中值定理）设函数f（x，y）在闭区域D上连续，A是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)使得下式成立：=f(ξ，η)·A。章节第十章重积分§2二重积分的计算法课时2教学目的熟练掌握二重积分的直角坐标计算方法及极坐标计算方法。教学重点及突出方法二重积分的直角坐标计算方法及极坐标计算方法。二重积分的定限，确定积分限，二重积分的直角坐标计算方法及极坐标计算方法。主要根据被积函数的表达式及积分区域的形式选取是利用直角坐标还是极坐标进行积分。画出积分区域图。教学难点及突破方法化二重积分为二次积分

6、时应注意训练学生根据被积函数和积分区域的特点选择适当坐标系，确定积分次序，准确定出积分限，并根据二重积分的性质进行计算。计算二重积分时、应注意以下三点：1.关键是：（1）正确选择公式。正确区分X-型区域和Y-型区域、公式（1）、（2）分别只适用于X-型区域和Y-型区域；（2）正确确定积分限。要做到这两点、应画出积分区域的图形。2.若既是X-型区域又是Y-型区域、则可选择公式（1）或公式（2）进行计算。此时、选择公式的原则是根据被积函数中两个变量的难易而定。如果选择的公式不恰当、则改变二次积分的积分次序、再进行计算。

7、3.若既不是X-型区域、又不是Y-型区域、则可将区域划分成一些小的X-型区域或Y-型区域、再利用二重积分的性质进行计算。相关参考资料《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P205-P229《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P540-P550教学过程教学思路、主要环节、主要内容10.2二重积分的计算法按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种

8、方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。一、利用直角坐标计算二重积分1、积分区域称为X-型积分区域,其中在[a,b]上连续,则(1)2、若积分区域称为Y-型积分区域,其中在[c,d]上连续,则（2）公式(1)右端的积分称为先对y,后对x的二次积分；公式(2)右端的积分称为先对x,后对y的二次积分。二、对称性与奇偶性法则f(x,y)分别在有界闭区