高等数学 重积分.ppt

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1、重积分第八章习题课一、关于二重积分计算二、关于三重积分在直角坐标系下计算三、关于二重积分的应用1（一）、重积分常见题目类型1.一般重积分的计算：a.选择坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.b.确定积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.列不等式法(投影穿线)c.写出积分限——累次积分法d.计算要简便充分利用对称性应用换元公式一、关于二重积分计算22.改变累次积分的积分次序题目要求改变积分次序或按原积分次序积不出来，必须改变积分次序.3.求平面图形D的面积4.求由曲面所围立体的体积5.用二重积分求曲面的面积36.重积分性质的应用

2、题（二）、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.被积函数为1时巧用其几何意义4其中函数、在区间上连续.(三)、利用直角坐标系计算二重积分(1)［X－型域］【X—型区域的特点】穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.【预备知识及二重积分公式推导】5若积分区域为X－型域：【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.6即得公式17【几点小结】aboxyDx8(2)［Y－型域］【Y—型区域的特点】穿过区域内部且平行于x轴的直线与区域

3、边界相交不多于两个交点.9公式210(3)［既非X－型域也非Y－型域］在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)如图,则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得2.【二重积分的计算步骤可归结为】①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征，确定积分次序；③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.11(1)使用公式1必须是X－型域，公式2必须是Y－型域.(2)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.则有(3)若积分域较复杂,X-型域或Y-型域.【说明】可将它分成若干12【例1】【解】看作X－型域1

4、2oxyy=xy=1DxD既是X—型域又是—Y型域［法1］3、【利用直角坐标系计算二重积分题类】13看作Y－型域12oxyx=yx=2Dy12［法2］14【例2】【解】D既是X—型域又是—Y型域［法1］－111xoy=xDxy15［法2］注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便－111yoy=xD－1xy注意两种积分次序的计算效果！16【例3】【解】D是Y—型域也可以视X—型域先求交点17［法1］视为X—型域（计算较繁）本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！［法2］（计算简单）18【例4】【解】X-型19【例5】【解】先去掉绝对值符号，如图20【例6】【解】

5、【分析】交换积分次序若直接计算，积分比较困难！（注意被积函数）作业P152;同济p15421（四）、利用极坐标系计算二重积分首先分割区域D两组曲线将D分割成许多小区域用1.极坐标系下二重积分表达式22将典型小区域近似看作矩形（面积=长×宽）则面积元素扇形弧长径向宽度23则二重积分极坐标表达式可得下式【注意】极坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为区别242.二重积分化为二次积分的公式区域特征如图（1）极点O在区域D的边界曲线之外时25若区域特征如图特别地26（2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时区域特征如图（1）的特例27区域特征如图（3）极点O在区域D的

6、边界曲线之内时（2）的特例一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？28【解】3、利用极坐标系计算二重积分29【解】xyo的原函数不是初等函数,故本题无法【注】1.由于用直角坐标计算.30【解】31【例4】计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线【解】(1)利用对称性.围成.32(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得33【例6】【解】作业P153;同济p155!344.【补充】改变二次积分的积分次序例题【例1】交换下列积分顺序【解】积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则35【例2】计算其中D是由直线y=x及抛物线y2=x所围成【解】积不出的积分

7、，无法计算。36【例3】【解】37作业P153;同济p155!38二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分以下只限于叙述计算方法1.直角坐标下2.柱面坐标下3.球面坐标下方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(切片法)(“先二后一”)先假设连续函数最后,推广到一般可积函数的积分计算.---将三重积分化为三次积分．39方法1：投影法【“先一后二”】如图∥z轴40得X—型域41【注意】此式称为先对z、次对y、最后对x的三次积分得计算公式（1）42（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那样，将Ω分割，化为部分区域上的三重积分之和.（3）也可把Ω投影到yo

8、z面或zox面上，便可把