三重积分计算(高等数学).ppt

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1、10.3三重积分概念与计算(二)z=0y=0x=00yx：平面x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1所围成的区域.先画图x0zy11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1围成z=01...例1.计算三重积分x+2y+z=1DxyI=x+2y=1利用柱面坐标计算三重积分规定：直角坐标与柱面坐标的关系为z动点M(,,z)圆柱面S=常数：平面z=常数：x0yzMrSz柱面坐标的坐标面动点M(r,,z)半平面P柱面S=常数:r=常数：平面z=常数：zx0yzMrSP柱面坐标的坐标面涉及到的要

2、素：.xzy0dprrddz平面z元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为p及p+dp的圆柱面；平面z及z+dz；柱面坐标下的体积元素xzy0drrrddz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为p及p+dp的园柱面；平面z及z+dz；dz平面z+dz柱面坐标下的体积元素.xzy0dprrddz底面积：pdpd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为p及p+dp的园柱面；平面z及z+dz；dzdV=.柱面坐标下的体积元素dV1.Dxy

3、:z=0.0xzyDxy例1计算I=1解交线为一般地，先对z，后对p，最后对积分二、利用球面坐标计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系为如图，SrMyzx0=常数:=常数:球面S动点M(,,)分析：球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面Cr=常数:=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)Myzx0P=常数:锥面C.rdrdpsinxzy0圆锥面pd球面r圆锥面+d球面p+dp元素区域由六个坐标面围成：dpsind球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为p及p+dp的

4、球面；圆锥面及+d.pdpdxzy0dpd元素区域由六个坐标面围成：psind球面坐标下的体积元素.半平面及+d；半径为p及p+dp的球面；圆锥面及+d.p2sindpddsindpddp2pcos)dVdV=rR对p:从0R积分,得半径任取球体内一点0xzy例3.0xzyMrR对:从0积分，.对p:从0R积分,得半径任取球体内一点例3.R.例3.0xzy对p:从0R积分,得半径任取球体内一点对:从0积分，R对:从0积分，扫遍球体.例3

5、.得锥面0xzy对p:从0R积分,得半径任取球体内一点对:从0积分，0xzyR.0I=V当f=1,.例3.对p:从0R积分,得半径任取球体内一点得锥面对:从0积分，对:从0积分，扫遍球体解补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性以及函数的对称性；２、被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇偶性解（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性、奇偶性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标一般来说，积分区域的边界面为柱面或锥面时通常采用柱面

6、坐标系；是球面或锥面时常采用球坐标系球是最理想区域，可用多种方法来计算。例6解法1解法2解法3