高等数学中三重积分曲面积分的计算问题

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1、讨论高等数学中曲线、曲面积分的问题讨论高等数学三重积分、第一类曲面积分的问题一、前言在学习第一类曲线积分与三重积分之后，会发现它们的计算有些不同但又相似，实际上最根本的原因还是对概念的不理解，只要理解概念加以思考，这些问题就应然而解。二、问题（1）三重积分与第一类曲面积分的概念；（2）第一类曲面积分的曲面的微元（3）三重积分与第一类曲面积分的物理意义，三重积分在计算的过程中不能把积分趋于带入到被积函数中，而三重积分的积分曲面可以带入到被积函数中去；三、解决方法（1）概念三重积分设是空间有界闭区域上的有界函数，将任意分割成为个小闭区域，，其中，表示第个小闭区域，也带表第个小闭区

2、域的体积，在每一个中任取一点，做乘积，，并做和，如果当各个小闭区域直径中的最大趋于零时，这时和的极限总是存在的，则此极限为函数在闭区域中的三重积分，记作，即=，其中为体积的微元。曲面积分3讨论高等数学中曲线、曲面积分的问题设曲面是光滑的，函数在曲面上的有界函数，把曲面认为分成个小块,其中，表示第个小闭区域，也带表第个小闭区域的面积，设是上的任意一点，做乘积,如果当各个小闭区域直径中的最大趋于零时,这时和的极限总是存在的,则此极限为函数在闭区域中的曲面积分，成为第一类曲面积分，记作为，即=。（1）第一类曲面积分的曲面的微元如图所示，设曲面方程为，在曲面上任选一点，那么在这一点必

3、定存在一个切平面，切平面与平面的夹角为，在曲面上任选一个的趋于,它在平面上的投影为。由于很小，那么它对应的在曲面中的部分曲面可以近似的认为是一个平面，则求得；，证明：，现在求得曲面中任意一点的法向量，取平面中的法向量，∴相当于对分别求偏倒，所有得公式带入中得：，∴（2）物理意义3讨论高等数学中曲线、曲面积分的问题三重积分的物理意义在于计算一个空间实体中不同点有不同密度的质量，函数是有界空间曲面与垂直于坐标平面或几个曲面所围成的封闭区域不同点的密度，在此区域中的任意一点有不同的密度，因为质量公式在这里已经不能够使用，所以取为为小体积的质量，经过取极限求和得到整个实体的质量。第一

4、类曲面积分的物理意义第一类曲面积分所求的的也是在于计算一个空间实体中的质量，与三重积分不同的是，函数是曲面上的不同点的面密度。因为质量公式在这里已经不能够使用，所以曲面中某点的面密度，在这里积分曲面中的某点的坐标与被积函数中的面密度所对应的坐标值相同，所以这里的为积分曲面与被积函数的坐标值，因此为微元小柱体的质量，经过取极限求和得到整个曲面所对应实体的质量，所以它所求得的体积是一个微元的柱面质量的和。一、结论三重积分中积分区域不能带入到被积函数中去；曲面积分的积分区域可以带入到被积函数中去。3