高等数学考研辅导练习11-12重积分曲线积分与曲面积分.doc

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1、《高等数学》考研辅导练习11重积分及其应用1．改变积分顺序：（1）；（2）；2．计算二重积分，这里的以及围的平面区域。3．计算二重积分，这里的以及曲线围的平面区域。4．求，这里的。5．求，这里的和所围区域。6．求，这里的。7．设是平面上以围顶点的三角形区域，是在第一象限部分，则等于（）。；；；。8．设，求。9．求球面被平面与所夹部分的面积。10．求，这里的。11＇．填空，其中。12．已知在上连续，试证对于大于1的自然数，有。13．求，这里与围成的立体。14．求，这里的上半球面与所围立体。15．计算，这里与上半曲面所围立体。16．计算，这里。17．

2、计算，这里与以及所围立体。18．求，这里由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体。19．设函数连续，且恒大于零，，其中。（1）讨论在内的单调性；（2）证明，当时，。练习12曲线积分与曲面积分1．设是锥面的下侧，则＝。2．设是由锥面和半球面围成的空间区域，是的整个边界外侧。则＝。3．计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段。4．设曲面是锥面的上侧，则＝。5．设，则。6．计算曲线积分，其中是用平面截立方体的表面所得截痕，若从轴的正向看去，取逆时针方向。7．设为椭圆，其周长记为，则。8．计算曲线积分，其中是曲线，从轴正向往轴的负向看去，取顺时针方向

3、。9．计算曲线积分：（1）为圆周的正向；（2）为椭圆的正向。10．设曲线是正向圆周，是连续的正函数，证明。11．设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为。记，（1）证明曲线积分与路径无关；（2）当时，求的值。12．求，为抛物面。13．求具有连续二阶导数的函数，使得，其中为平面上第一象限内任意一条光滑闭曲线。14．求的值，使为某一函数的全微分，并求。15．计算，为以为心，边长为12的正方形的四边，取逆时针方向。16．设具有一阶连续的导数，证明对任意光滑闭曲线，有。17．已知曲线积分，为常数，是一可导函数，。是绕原

4、点一周的任意正向闭曲线。试求出及。18．计算，其中为的上侧。