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1、第十章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分第十章内容小结1.定义2.性质(l曲线弧的长度)机动目录上页下页返回结束3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧机动目录上页下页返回结束如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则机动目录上页下页返回结束其中L1是曲线L在x
2、轴右侧的那一部分；关于y轴对称也有类似结论。对称性的应用：1.如果曲线关于x轴对称，函数f(x,y)关于y为奇偶函数，则2.设f(x,y)在曲线连续，曲线L关于原点对称，函数f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数，则其中L1是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分。例1.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动目录上页下页返回结束例2.计算其中为球面解:化为参数方程则机动目录上页下页返回结束思考与练习已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性机动目录上页下页返回结束第二节1、对坐标的曲线积分的概念与性质2、对坐标的曲线积分的计
3、算法3、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分第十章1.定义性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束2.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束3、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件机动目录上页下页返回结束格林公式及其应用第十章区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞
4、”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式机动目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+
5、Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束真题研讨第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分第十章1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分的概念、性质和计算对称性的应用例3.计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用重心公式机动目录上页下页返回结束第五节一、有向曲
6、面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲面积分第十章其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动目录上页下页返回结束引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;若记正侧的单位法向量
7、为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)机动目录上页下页返回结束性质:联系:机动目录上页下页返回结束例5.设S是球面的外侧,计算解:利用轮换对称性,有机动目录上页下页返回结束例6.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.机动目录上页下页返回结束原式=机动目录上页下页返回结束一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域
8、由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,函数P,Q,R在面所围成,的方向取
