曲线积分和曲面积分(I)

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1、曲线积分和曲面积分曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分一、主要内容曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义性质计算公式两者关系对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义实质分、粗、和、精分、粗、和、精背景曲面块的质量流向曲面指定侧的流量性质线性、可加、与侧无关线性、可加、与侧有关计算一代、二换、三投影一代、二投、三定号联系曲面积分Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系或推广推广定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stoke

2、s公式Guass公式（二）各种积分之间的联系关于对称性对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积分相类似的奇偶性你对称，我奇偶积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个变量具有奇偶性对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分，再使用对称性关于对面积的曲面积分的应用曲面面积曲面质量重心坐标转动惯量二、典型例题例1求椭圆柱面位于xoy面上方和平面z=y下方的那部分的侧面积解一易见曲面对称于yoz面解二对弧长的曲线积分的几何意义：柱面上的曲边梯形的面积侧面积注曲面面积的计算法SDxy曲顶柱体的表面积如图

3、曲顶柱体，例2计算及平面z=1,z=2所围立体的表面的外侧解一由Gauss公式解二上侧下侧外侧（用极坐标）解由对称性例4计算所截下的部分解积分曲面关于yoz面、zox面对称被积函数

4、xyz

5、关于x和y是偶函数由对称性例5计算解由对称性例6计算绕z轴旋转所成的曲面的下侧解补上曲面取上侧则由Gauss公式例7解利用两类曲面积分之间的关系向量点积法例8解利用向量点积法解(如下图)例10计算的外表面解一先计算下侧上侧同理解二由Gauss公式=0（用对称性）例11计算曲面积分解考虑使用Gauss公式但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的“碗”扣在xoy坐标面

6、上，与xoy坐标面的截痕为故曲面不封闭，应用z=0（下侧）封住碗口但要注意在（0，0，0）不存在而（0，0，0）又在z=0上，故须挖去（0，0，0）考虑到P,Q,R的分母为为简化计算用半径充分小的小球面挖去原点下侧故由Gauss公式测　验　题测验题答案