曲线积分和曲面积分(II)

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1、第三节曲线积分和曲面积分对弧长的曲线积分一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件（充分条件）：3.推广（将平面曲线推广到空间曲线）注意：注意：4.性质三、对弧长曲线积分的计算定理其中弧微分注意:特殊情形（L的参数方程确定了一条平面曲线）推广:由此可见，关于弧长的曲线积分的计算公式,是先导出用参数方程表示的平面曲线的公式，然后再将它推广到用直角坐标方程表示的平面曲线和用参数方程表示的空间曲线例1。计算解：例2

2、解例3解（分部积分）例4解由对称性,知对于用一般方程表示的空间曲线，要计算函数对弧长的曲线积分是比较困难的，有时要结合一些小的技巧才能使计算较为简易四、几何与物理意义下面再分析几个例题：解：=9补充：计算，其中L：由对称性可知为双纽线解：思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.对弧长的曲线积分与重积分进行比较：相同点：1。物理意义都是表示质量2。化成定积分后的积分下限都小于积分上限不同点：重积分：不能代入，如线积分：可以代入，如这里，对坐标的曲线积分一、问题的提出实例:变力

3、沿曲线所作的功常力F沿直线AB所作的功分割求和取极限近似值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）可用向量表示有向曲线元；例1解例2解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联

4、系思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.思考题练习题