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时间:2020-03-24
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1、第十章习题课曲线积分与曲面积分一基本要求1.理解两类曲线和曲面积分的概念,了解两类积分的性质以及两类积分的关系。2.掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。4.了解高斯公式,并会用高斯公式求曲面积分。5.会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量(弧长﹑质量﹑重心﹑转动惯量﹑引力、功和流量等)。二.要点提示1.曲线积分的计算——化为定积分计算(1)对弧长(第一型)设L:弧微分(2)对坐标(第二型)设L:2.曲面积分的计算(化为二重积分)(1)对面积(第一型)的曲面积
2、分若(2)对坐标(第二型)的曲面积分若上侧,则若下侧,则3.格林公式——平面上曲线积分与二重积分的关系:(1)曲线积分与路径无关的条件L正向.以及等价关系.(2)添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线,利用格林公式求曲线积分.4.高斯公式——曲面积分与三重积分的关系三问题与思考问题1下列运算正确吗?解(1)正确.(2)错误,因为二重积分的积分包括圆的边界和内部,正确的是问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念?答:由于实际需要,曲线积分与曲面积分为两种类型,有关质量﹑重心﹑转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积
3、分;有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分,无需考虑方向性,而后者被积函数是向量函数,必须考虑方向。因此,一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类型的积分,在所学过的积分中区域无向的积分有:重积分﹑第一类曲线积分和第一类曲面积分;区域有向的积分有:定积分﹑第二类曲线积分和第二类曲面积分.曲线的方向是由起点到终点(定积分)或切向量的方向来确定,曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定.例1计算。四典型题目1.解这里是有向折线可选路径AEFC
4、,则请思考:能否取折线解法2由对称性(轮换性)解由高斯公式,得
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