重积分论文 《高等数学》——重积分

《重积分论文 《高等数学》——重积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、《高等数学》——重积分摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用.在高等

2、数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳

3、了重积分的应用，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。I.重积分的应用归纳如下:1.1曲面的面积设曲面的方程为在面上的投影为，函数在上具有连续偏导数，则曲面的面积为：若曲面的方程为在面上的投影为，则曲面的面积为：若曲面的方程为在面上的投影为，则曲面的面积为：例1：计算双曲抛物面被柱面所截出的面积。解：曲面在面上投影为,则即有:从而被柱面所截出的面积如上所示。例2:求半径为的球的表面积.解:取上半球面

4、方程为,则它在面上的投影区域.又由得因为这函数在闭区域上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域为积分区域,算出相应于的球面面积后,令取的极限就得半球面的面积.利用极坐标,得于是这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为1.2质量1.2.1平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域，面密度为，则它的质量为，其中称为质量元素.1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域，体密度为，则它的质量为例3：由螺线，与直线，围成一平面薄片，它的面密度为，求它的质量。解：如图所示，1.3质心1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域，面密度为，则它的质心坐标为：，其中为平面薄片的质量.1.3

5、.2物体的质心若物体占有空间闭区域，体密度为，则它的质心坐标为：，其中为物体的质量.例4：求位于两球面，和之间的均匀物体的质心.解：由对称性可知，质心必须位于轴上，故由公式由面常数，不妨设，则，所以，从而质心坐标为。例5:求位于两圆和之间的均匀薄片的质心。解：如图所示：因为闭区域对称于轴轴，所以质心，必位于轴上，于是。再按公式计算，由于闭区域位于半径为1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面积之差，即。再利用极坐标计算积分因此所以质心是。1.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域，面密度为，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:1.4.2物体的转动惯量若物

6、体占有空间闭区域，体密度为，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:例6：求半径为的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。解:建立坐标系如图所示:又半圈薄片的质量.例7：求均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量。解:取球心为原点,轴为轴,设球所占域为则1.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域，面密度为，质量为的质点位于，设薄片对质点的引力为，则,其中,为引力常数.1.5.2物体对质点的引力若物体占有空间闭区域，体密度为，质量为的质点位于，设薄片对质点的引力为，则其中,为引力常数.例8：求一高，底面半径为的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。解:以圆锥的顶点为原

7、点,对称轴为轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为，设密度为，所求用微元法讨论，在圆锥任意一点处取微元，则此小块质量为，它对原点处单位质点引力为：，其中由对称性可知，因为，所以，从而所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为。例9：求半径为的均匀球对位于点的单位质量质点的引力.解：利用对称性知引力分量II.重积分小谈2.1积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，