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1、高等数学教案§9重积分第九章重积分教学目的：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。§9.1二重积分的概念与性
2、质一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设有一立体,它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),这里f(x,y)³0且在D上连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.首先,用一组曲线网把D分成n个小区域Ds1,Ds2,×××,Dsn.分别以这些小闭区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个Dsi中任取一点(xi,hi),以f(xi,hi)为高而底为Dsi的平顶柱体的体积为f(xi,hi)Dsi(i=1,2,×××,n).这个
3、平顶柱体体积之和.高等数学课程建设组高等数学教案§9重积分可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值,将分割加密,只需取极限,即.其中l是个小区域的直径中的最大值.2.平面薄片的质量.设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点(x,y)处的面密度为r(x,y),这里r(x,y)>0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M.用一组曲线网把D分成n个小区域Ds1,Ds2,×××,Dsn.把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:r(xi,hi)Dsi.各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:.将分割加细,取极限,得到平面薄片的质量.其中l是个小区域的
4、直径中的最大值.定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域Ds1,Ds2,×××,Dsn.其中Dsi表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个Dsi上任取一点(xi,hi),作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即高等数学课程建设组高等数学教案§9重积分.f(x,y)被积函数,f(x,y)ds被积表达式,ds面积元素,x,y积分变量,D积分区域,积分和.直角坐标系中的面积元素:如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边界点的一些
5、小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域Dsi的边长为Dxi和Dyi,则Dsi=DxiDyi,因此在直角坐标系中,有时也把面积元素ds记作dxdy,而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性:当f(x,y)在闭区域D上连续时,积分和的极限是存在的,也就是说函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在.我们总假定函数f(x,y)在闭区域D上连续,所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的.二重积分的几何意义:如果f(x,y)³0,被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x,y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.
6、如果f(x,y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的.二.二重积分的性质性质1设c1、c2为常数,则.性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和.例如D分为两个闭区域D1与D2,则.性质3(s为D的面积).性质4如果在D上,f(x,y)£g(x,y),则有不等式.特殊地有高等数学课程建设组高等数学教案§9重积分.性质5设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,s为D的面积,则有.性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,s
7、为D的面积,则在D上至少存在一点(x,h)使得.§9.2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X--型区域:D:j1(x)£y£j2(x),a£x£b.Y--型区域:D:y1(x)£y£y2(x),c£y£d.混合型区域:设f(x,y)³0,D={(x,y)
8、j1(x)£y£j2(x),a£x£b}.此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.对于x0Î[a,b],曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间[j1(x0),j2(x0)]为底、以曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形,所以这截面的面积为.根据平行截
