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1、第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第十章1.能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是对区域具有可加性——用微元分析法(元素法)建立积分式分布在有界闭域上的整体量3.解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法:用重积分解决实际问题的基本原则一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域的立体的体积为任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.例1分析:(示意图)求曲面第一步:求切平面方程;第二步:求
2、与S2的交线在xOy面上的投影,写出所围区域D;第三步:求体积V.任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解的切平面方程为它与曲面的交线在xOy面上的投影为(记所围域为D)在点例1求曲面曲面例2内接锥面所围成的立体的体积.解则立体体积为求半径为a的球面与半顶角为的在球坐标系下空间立体所占区域为二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且例3被柱面所截解则出
3、的面积A.曲面在xOy面上投影为计算双曲抛物面例4解设球面方程为球面面积元素为方法2利用球坐标方程.方法1利用直角坐标方程.(解略，祥见教材167页例1)计算半径为a的球的表面积.例5解地球半径）.试计算该通信卫星覆盖面积与地球表面积的比值（已知卫星所覆盖的曲面的方程为运行的角速度与地球自转的角速度相同.建立如图所示坐标系.设有一颗地球同步通信卫星，距离地面的高度于是卫星所覆盖的面积为其中利用极坐标，得代入上式得由于由此得卫星覆盖面积与地球表面积之比为由此可知，使用三颗相隔角度的通信卫星可以覆盖几乎地球全部表面.三
4、、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点同理可得则得形心坐标：若物体为占有xOy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)则它的质心坐标为其面密度—对x轴的静矩—对y轴的静矩形心坐标:得D的例6和的质心.解而之间均匀薄片求位于两圆利用对称性可知的方程
5、为内储有高为h的均质钢液,解采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为例7一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线利用对称性可知质心在z轴上，四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.因此物体对z轴的转动惯量:类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例8解半圆薄片的质量的转动惯量.
6、求半径为a的均匀半圆薄片对其直径建立坐标系如图,解则球体的质量例9设球所占域为(用球坐标)转动惯量.求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的取球心为原点,z轴为l轴,,G为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中若求xOy面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,因此引力分量为则上式改为D上的二重积分,密度函数改为即可.例如,其中:例10设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解处的单位质量质点
7、的引力.。由对称性知引力例11对位于的单位质量质点的引力.解点求半径为R的均匀球利用对称性知引力分量为球的质量(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?补充题(2001考研)侧面方程:提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)由题意知令得因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为100小时.
