高等数学课件10-4重积分应用.ppt

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1、相应于[x,x+dx]的部分面积—面积元素:dA=f(x)dx关于x[a,b]累加得整体面积:元素法相应于[x,x+dx]的部分量(元素):dU=f(x)dx关于x[a,b]累加得整体量:dsP(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质量为相应于ds的部分质量—质量元素dM=m(x,y)ds关于(x,y)D累加得薄片的质量元素法1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量n1=(A1,

2、B1,C1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2=(A2,B2,C2)1.定义1两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.二、两平面的夹角所以1n1n22平面1与2相互平行规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=02.空间光滑曲面曲面在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量机动目录上页下页返

3、回结束一、曲面的面积二、质心三、转动惯量四、引力重积分的应用上页下页铃结束返回首页一、曲面的面积点M处的法向量为设dS为曲面上点M处的面积元素dS在xOy平面上的投影为小闭区域d设曲面S的方程为zf(xy)f(xy)在区域D上具有连续偏导数曲面的面积元素一、曲面的面积曲面的面积设曲面S的方程为zf(xy)f(xy)在区域D上具有连续偏导数曲面的面积元素曲面的面积公式:讨论(1)曲面xg(yz)的面积如何求？(2)曲面yh(zx)的面积如何求？提示其中Dyz是

4、曲面在yOz面上的投影区域其中Dzx是曲面在zOx面上的投影区域球面的面积A为上半球面面积的两倍解例1求半径为R的球的表面积提示此积分的被积函数是无界的因此这是一种反常积分重积分例题选解重积分例题选解二、质心质点系:总质量:关于y轴静矩:关于x轴静矩:静矩等效原理:以质点取代质点系,静矩相等,即质心坐标:分析在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,其值近似为(x,y)ds.dsP(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面

5、密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为薄片对y轴的静矩为静矩等效原理:以质点取代质点系,静矩相等,即P点对y轴的静矩为dMyx(xy)d讨论设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度是常数如何求该平面薄片的质心(称为形心)？提示设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为类似地设一物体占有空间闭区域其密度(xyz)是闭区域上的连续函数则该物体的质心坐标为设一平面薄片占有xO

6、y面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为解例2求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心例2求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心力学解法:设小圆质量为m,质心(0,1),则大圆质量为4m,质心(0,2),小圆关于x轴的静矩为m,大圆关于x轴的静矩为8m,图形关于x轴的静矩为取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上解例3求半径为a的均匀半球体的质心半球体所占空间闭区域可表示为{(xyz)

7、x2y2z2

8、a2z0}转动惯量元素在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,其值近似为m(x,y)ds.P点对x轴和对y轴的转动惯量为dIxy2(xy)ddIyx2(xy)d三、转动惯量dsP(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为三、转动惯量类似地设一物体占有空间闭区域其密度(xyz)是上的连续函数则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为设

9、一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为例4求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量取球心为坐标原点z轴与轴l重合又设球的半径为a解球体所占空间闭区域可表示为{(xyz)

10、x2y2z2a2}所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz四、引力设物体占有空间有界闭区域其密度(xyz)为上的连续函数求物体对于物体外一点P0(x0y0z0)处的单位质量的质点的引力设在内点P(xy