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1、应用习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用第十章重积分的计算及应用一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法—累次积分法练习P1802(3);7;8(1),(3)2(3).计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:利用极坐标原式P180解答提示:7.把积分化为三次积分,其中由曲面提示:积分域为原式及平面所围成的闭
2、区域.P1818(1).计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.P1838(3).计算三重积分其中是由xOy平面上曲线所围成的闭区域.提示:利用柱坐标原式绕x轴旋转而成的曲面与平面P181X=5二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号练习题*5.利用重积分换元公式P1801,4,8(2),11答案提示:(见下页)4.利用扩展积分域进行计算1(1).设由确定,由所确定,则提示:C右边为正,
3、显然不对,故选(C)利用对称性可知,(A),(B),(D)左边为0,上半球第一卦限部分1(2).则提示:如图,由对称性知在上是关于y的奇函数在上是关于x的偶函数A证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P1814.8(2).其中是所围成的闭区域.提示:被积函数在对称域上关于z为奇函数,利用对称性可知原式为0.由球面P18111.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示:建立坐标系如图.由已知可知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好
4、落在圆心上,例1计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解(1)利用对称性.围成.(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例2计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标例3计算二重积分在第一象限部分.解(1)两部分,则其中D为圆域把D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成例4求抛物线所围区域D的面积A.解如图所示注:则也可利用上述方法简化计算.上可积,例5交换积分顺序计算解积分域如图.例6解在球坐标系下利用洛必达法则与导数定
5、义,得其中三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面例7证明证左端=右端=例8设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;(2)证明t>0时,(2003考研)解(1)因为两边对t求导,得f(x)恒大于零,(2)问题转化为证即证故有因此t>0时,因利用“先二后一”计算.例9试计算椭球体的体积V.解
