重积分的 计算 及应用 小结.ppt

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1、2、性质（线性性质、对区域的可加性、积分不等式，估值定理、中值定理*3、计算（1）二重积分（直角坐标、极坐标）（2）三重积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）*4、重积分的应用（面积、体积、质量、曲面面积、重心、转动惯量、引力）。重积分的计算及应用1、概念（定义、可积的充分条件、几何与物理意义）一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积

2、分法二、重积分计算的基本技巧1.交换积分顺序的方法2.利用对称性等简化计算3.消去被积函数绝对值符号计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:利用极坐标原式1、把积分化为三次积分,其中由曲面提示:积分域为原式及平面所围成的闭区域.2、计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.3、计算三重积分其中是由xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:利用柱坐标原式绕x轴旋转而成的曲面与平面4、5=x5.计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以证明:提示:左端积分

3、区域如图,交换积分顺序即可证得.6、其中是所围成的闭区域.提示:被积函数在对称域上关于z为奇函数,利用对称性可知原式为0.由球面7、8.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得9.如图所示交换下列二次积分的顺序:解:9.设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;(2)证明t>0时,解:(1)因为两边对t求导,得(2)问题转化为证即证故有因此t>0时,因