重积分的计算及应用

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1、第二十章重积分的计算及应用§1.二重积分的计算1．将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1)由轴与所围成；(2)由及所围成；(3)由和围成；(4)．2.计算下列二重积分：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．3.改变下列累次积分的次序：(1)；(2)；(3)．4.设在所积分的区域上连续，证明．5.计算下列二重积分：(1)(),是由围成的区域；第6页共6页(2)是由和围成的区域；(3)：；(4)：；(5)由所围成；(6)由所围成；(7)是以和为顶点的三角形；(8)由和所围成．2.求下列二重积分：(1)；(2)；(3)．3.改变下列累次积分的次序：(1)；(2)；(3)；(4)．4.求下列立体之体

2、积：(1)由所确定；(2)由所确定；(3)是由坐标平面及所围成的角柱体．5.用极坐标变换将化为累次积分：(1)：半圆；(2)：半环；第6页共6页(3)：圆；(4)：正方形．2.用极坐标变换计算下列二重积分：(1)：；(2)是圆的内部；(3)由双纽线围成；(4)由阿基米德螺线和半射线围成；(5)由对数螺线和半射线围成．3.在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1)若；(2)()，若；(3)，其中＝，若；(4)，其中＝()，若．4.作适当的变量代换，求下列积分：(1)是由围成的区域；(2)由围成；(3)由围成．§2.三重积分的计算1.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1)；第6页

3、共6页(2)；(3)球面与圆柱面（）的公共部分；(4)()；(5)；(6)．1.求曲线所围成的面积．2.用柱坐标变换计算下列三重积分：(1)，由曲面围成；(2),由曲面围成．3.用球坐标变换计算下列三重积分：(1)：；(2),由围成；(3)，由围成．4.作适当的变量代换，求下列三重积分：(1)，由围成的立体，其中；(2)，同(1)；(3)，由()，()以及围成；第6页共6页(4)，由围成；(5)．1.求下列各曲面所围立体之体积：(1)；(2)()．2.计算下列三重积分：(1)：；(2)由曲面所围成；(3)由曲面所围成；(4)是由曲面围成的位于第一卦限的有界区域；(5)由曲面所围成；(6)是由及

4、所围成的区域．§3.积分在物理上的应用1．求下列均匀密度的平面薄板的质心：(1)半椭圆；(2)高为，底分别为和的等腰梯形；(3)所界的薄板；(4)所界的薄板．2．求下列密度均匀的物体的质心：(1)；第6页共6页(2)由坐标面及平面所围成的四面体；(3)围成的立体；(4)和平面围成的立体；(5)半球壳．1．求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量：(1)边长为和，且夹角为的平行四边形，关于底边的转动惯量；(2)所围平面图形关于直线的转动惯量．2．求由下列曲面所界均匀体的转动惯量：(1)关于轴的转动惯量；(2)长方体关于它的一棱的转动惯量；(3)圆筒，关于轴和轴的转动惯量．3．设球体上各点的密度等于该点

5、到坐标原点的距离，求这球的质量．4．求均匀薄片对轴上一点(0，0，)(>0)处单位质点的引力．求均匀柱体对于(0，0，)(>)处单位质点的引力．§4.广义重积分1．设轴将平面有界区域分成对称的两部分和，证明：(1)若关于为奇函数，即，则；(2)若关于为偶函数，即，则．第6页共6页