重积分的计算及应用习题

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1、习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用重积分的计算及应用一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法1.计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:利用极坐标原式2.把积分化为三次积分,其中由曲面提示:积分域为原式及平面所围成的闭区域.3.计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后

2、一”计算方便.4.计算三重积分其中是由xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:利用柱坐标原式绕x轴旋转而成的曲面与平面补充题.计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.利用重积分换元公式证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.1.2.其中是所围成的闭区域.提示:被积函数在对称域上关于z为奇函数,利用对称性可知原式为0.由球面3.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,

3、使整个的另一边长度应为多少?提示:建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上,例4.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例2.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标例5.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成例6.如图所示交换下列二次积分的顺序:解:例7.解:在球坐标

4、系下利用洛必达法则与导数定义,得其中三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面例1.证明证:左端=右端例2.设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;(2)证明t>0时,(03考研)解:(1)因为两边对t求导,得(2)问题转化为证即证故有因此t>0时,因利用“先二后一”计算.例3.试计算椭球体的体积V.解法1*解法2利用三重积分换元法.令则