二重积分的计算及应用习题课.ppt

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1、习题课一、二重积分计算二、三重积分计算二重积分的计算及应用第十章(1)7/27/20211一、二重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法7/27/20212典型例题例1解X-型:7/27/20213计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:利用极坐标原式P182题2(3)例27/27/20214例3.计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以7/27

2、/20215二重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号7/27/20216例4解7/27/20217例5解7/27/202187/27/20219证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P182题4练习题7/27/202110P182题1（3）练习题提示:交换积分顺序B7/27/202111例6解先去掉绝对值符号，如图7/27/202112使用对称性时应注意1.积分区域关于坐标轴的对称性.2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配

3、时,才能简化.利用对称性简化二重积分的计算7/27/202113二重积分计算的简化7/27/2021147/27/2021157/27/202116例7计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解(1)利用对称性.围成.7/27/202117(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得7/27/202118例8计算二重积分在第一象限部分.其中D为圆域提示:两部分作辅助线将D分成说明:若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.7/27/202119P182题1（2）练习题A7/27/202120P182题6练习题7/27/2021217/27/2

4、02122二、三重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法7/27/202123把积分化为三次积分,其中由曲面提示:积分域为原式及平面所围成的闭区域.P183题7练习题7/27/202124计算三重积分其中是由xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:利用柱坐标原式绕x轴旋转而成的曲面与平面P183题8(3)7/27/202125三重积分计算的基本技巧分块积分法

5、利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号1.积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.利用对称性简化三重积分的计算：7/27/202126其它情形依此类推.三重积分计算的简化7/27/202127P182题1(1)设有空间闭区域则有（）7/27/202128例1解典型例题7/27/202129例2解利用球面坐标7/27/202130利用“先二后一”计算.例3试计算椭球体的体积V.解7/27/202131