9-3二重积分的计算(习题课)

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1、二重积分的计算习题课二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：①作出积分区域的草图②选择适当的坐标系③选定积分次序，定出积分限1.关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑一、主要内容被积函数呈常用极坐标其它以直角坐标为宜2.关于积分次序的选择选序原则①能积分，②少分片，③计算简3.关于积分限的确定二重积分的面积元为正确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形看图定限—穿越法定限和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ.先y后x，过任一x∈[a,b],作平行于y轴的直线穿过D的内部从D的下边界曲线穿入—内层积分的下

2、限从上边界曲线穿出—内层积分的上限ⅱ.先x后y过任一y∈[c,d]作平行于x轴的直线定限左边界——内层积分的下限右边界——内层积分的上限则将D分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加②极坐标系积分次序一般是过极点O作任一极角为的射线从D的边界曲线穿入,从穿出.ⅲ.如D须分片——内下限—内上限具体可分为三种情况⑵极点在D的边界上是边界在极点处的切线的极角绝大多数情况下为0⑶极点在D的内部化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘r⑴极点在D的外部4.关于对称性利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的

3、计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对①若D关于x轴对称②若D关于y轴对称③若D关于原点对称奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质.对于变量x,y来说，可以简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简单地说就是：二、例题分析例.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则解原式例计算解DY—型I=若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。2121解例计算解根据积分区域的特点14-12

4、应先对x后对y积分但由于对x的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。先x后y有奇函数例.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知机动目录上页下页返回结束解例计算解积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域都有意义必须限制因此D只能在x=0，x=2之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单显然r呢？极点在D的边界上，所以那就错了不能以为极点O在区域的边界上就误以为对r积分的下限为0定r的积分限，应先固定以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交穿入;从从穿出.积分限如何确定尽管极点在D的边界上

5、但极角为的射线并不是从极点穿入而不是域D的极坐标表示为例.关于分块函数在D上的积分.其中D：0x1,0y1解：积分区域如图记f(x,y)=

6、y–x

7、=y–x,当yx时,x–y,当y

8、故故（6）计算习题解析5.交换积分次序:习题解答1-220