二重积分的计算

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1、二重积分的计算欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2005.1.2-1.5基本思想oyxzab二重积分的计算——化二重积分为二次积分预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）A(x)x如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间在区间[a,b]内任取一点x，过该点作x轴的垂直平面，若该平面的面积为A(x)，则由定积分的元素法可知立体体积为如果积分区域D可表示为：aby=Φ2(x)y=Φ1(x)oxyХ-型区域用平行于yoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分如果积分区域D可表示为：у-型区域用平行于xoz面

2、的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分oxcdyx=φ2(y)x=φ1(y)或记为或记为利用直角坐标系计算二重积分1、2、X-型区域Y-型区域abxyoDcdDyxo例1计算二重积分其中D为矩形区域例2已知xoy平面第一象限内的区域D是由直线x=0和y=2和抛物线y=x^2/2所围成.求区域D的面积求由曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的曲顶柱体的体积.练习解答8（2）计算下列二重积分由围成先积后积如何？解原式要分成两部分之和例1计算下列二重积分先积后积要分作两部分计算解小结：化二重积分为二次积分时，积分次序

3、的确定应考虑积分区域的形状，还应考虑积分计算的难度与方便。由围成直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域D既可表示为Х-型区域：又可表示为у-型区域：则有如下交换积分次序公式：у-型区域Х-型区域例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或记为故或记为解D可表示为：D又可表示为：o44xy=xy2=4xyxy例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）或或记为或记为oxy-rrx2+y2=r2例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或或记为或记为补充题1、改变积分的次序。有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标表示较为方便，或被积

4、函数用极坐标表示比较简单，这时可考虑利用极坐标计算。（演示）在二重积分的定义式中被积函数可用极坐标表示为：面积元素如图所示：于是，极坐标下二重积分为：可表示为参考直角坐标系下化二重积分为二次积分的做法，可得：利用极坐标系计算二重积分D例3计算下列立体的体积（2）由曲面及平面围成的立体。解立体在xoy面内的投影区域D可表示为：为极坐标下的二次积分。例4化二重积分1解解为极坐标下的二次积分。例4化二重积分解例5计算二重积分D是由和围成。解积分区域D可表示为：另一方面，一方面，例6求所以：解例7计算下列立体的体积由柱面曲面及所围成的立体体积。解练习Pag

5、e210例8TheEnd二重积分欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2005.1.2