二重积分的计算(2)

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1、第三节二重积分的计算(2)有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等.此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.内容分布图示★利用极坐标系计算二重积分★二重积分化为二次积分★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★例8★例9★例10★平面薄片的重心★例11★平面薄片的转动惯量★例12★例13★平面薄片对质点的引力★例14★一般曲线坐标系中二重积分的计算★例15★例16★例17★内容小结★课堂练习★习题9-3★返回内容要点：一、在极坐标系下二重积

2、分的计算极坐标系下的面积微元，直角坐标与极坐标之间的转换关系为从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式(3.1)二、二重积分的应用平面薄片的重心平面薄片的转动惯量三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算二重积分的一般换元分式.例题选讲：在极坐标系下二重积分的计算例1（讲义例1）计算其中是由圆所围成的区域.例2计算二重积分其中是由所确定的圆域.例3（讲义例2）计算,其中积分区域是由所确定的圆环域.例4（讲义例3）计算,其中D是由曲线所围成的平面区域.例5（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域例6计算,其中为由圆及直线所

3、围成的平面闭区域.例7将二重积分化为极坐标形式的二次积分,其中是曲线及直线所围成上半平面的区域.例8（讲义例5）求曲线和所围成区域的面积.例9（讲义例6）求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图9-3-10）.例10（讲义例7）计算概率积分二重积分的应用例11（讲义例8）求位于两圆和之间的均匀薄片的重心（图9-3-13）.例12（讲义例9）设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量），两直角边长分别为，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.例13已知均匀矩形板(面密度为常数)的长和宽分别为和,计算此矩形板对于通过其形心且分别与

4、一边平行的两轴的转动惯量.例14求面密度为常量、半径为的均匀圆形薄片：对位于轴上的点处的单位质点的引力在一般曲线坐标系中二重积分的计算例15（讲义例10）求椭球体的体积.例16计算其中由轴、轴和直线所围成的闭区域.例17（讲义例11）求曲线所围平面图形的面积.注:题中利用函数组与反函数组之间偏导数的关系式来求避免了从原函数组直接解出反函数组的困难.但在简单情况下，也可以直接解出来直接计算之.课堂练习1.计算其中.2.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离,求此半圆的重心坐标及关于x轴(直径边)的转动惯量.3.计算重积分其

5、中是由直线和所围成.