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1、一、二重积分的几何意义二、在直角坐标系下计算二重积分第二节二重积分的计算三、在极坐标系下计算二重积分四、二重积分的换元法五、小结六、作业(2)(3)(1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,一、二重积分的几何意义二、在直角坐标系下计算二重积分(1)积分区域为：其中函数X－型在区间上连续.计算截面面积(红色部分即A(x0))＊以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说
2、明其计算法是区间为曲边的曲边梯形.为底,曲线是区间为底,曲线为曲边的曲边梯形.有:＊先对y后对x的二次积分注：也可以从二重积分的物理意义来理解上述二次积分公式细杆的质量非均匀薄片的质量(2)积分区域为：Y－型先对x后对y的二次积分也即其中函数在区间上连续.abdc计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:但可作出适当选择.(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.例1（P88例2）解1将D看成X型区域例1（P88例2）解2将D看成Y型区域D1D2第一种方法计算量小解解：例4对
3、y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:oxy解积分区域如图例交换积分次序：解积分区域:原式=生物2010-04-16解原式又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.解解(1)先去掉绝对值符号,如图例5先对y积分简单D1D2D2解(2)仿照(1)的方法，同时充分利用可加性例5先对y积分简单
4、D1D2D2D1例7（求体积）两个直交圆柱体在第一卦限相交所得的立体体积解曲面围成的立体如图.补充若区域D关于x轴对称,若f(x,y)关于y为偶函数oxyD1D1为D在第一象限中的部分,则二重积分的对称性质二重积分的对称性若f(x,y)关于y为奇函数这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数若区域D关于y轴对称,若f(x,y)关于x为偶函数同理：D1为D在第一象限中的部分,则若f(x,y)关于x为奇函数oxyD1设D为圆域(如图)00D1为上半圆域D2为右半圆域例.解
5、由性质得例为顶点的三角形区域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年研究生考题,选择,3分D1是D在第一象限的部分,练习D1D2D3D4记I=则I=I1+I2,其中I1=I2=而I1=D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数而I2=是关于x的偶函数,关于y的奇函数.所以D1D2D3D4今后在计算重积分利用对称性简化计算时,注意被积函数的奇偶性.积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:三、在极坐标系下计算二重积分即也即极坐标系中的面积元素(1)积分区域D:θθ(2)积分区域D(曲边扇形):极坐标系下区域的面积(3)积分区域D:注
6、一般,在极坐标系下计算:θ解解解解下次从此开始解解二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）小结思考题思考题解答练习题练习题答案四、二重积分的换元法例1解例2解小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．五、小结二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算公式(注意使用对称性)(注意正确选择积分次序,掌握交换积分次序的方法)恰当选择坐标系计算二重积分(注意选择的原则)六、作业习题7-2(158－160页)2.(2)(3)3.(1)5.(1)6.(3)7.(3)8.(1)11.(2)
