二重积分的计算.ppt

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1、二重积分的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算二、二重积分在极坐标系下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块从而有由定积分的几何应用：设一立体满足，在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体积设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示

2、为(1)在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间[y1(x),y2(x)]上，以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示.故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为(2)将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.为了简便常记为需要指出，计算时，应将x视为常量，按定积分的计算方法解之.同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为(3)在[c

3、,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则所给立体体积因此(4)即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.先对x积分时，中的y应视为常量，按定积分的计算方法解之.在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上，上述结论并不受此限制.如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及重积分的可加性可求区域D上的二重积分

4、.为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：(1)画出积分区域D的图形.(2)若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方法是：作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限.而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上投影区间[a,b]，a是下限，b是上限，即如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，在不同的范

5、围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.例1用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.解即求以z=6–2x–3y为顶，以△ABC围成区域D为底的柱体体积.也就是计算二重积分解法1先对y积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分下限.出口曲线为，作为积分上限.解法2也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积分下限，出口曲线为，作

6、为积分上限.积分区域D在y轴上投影区间为[0,2]，这个结果与我们熟知的四面体的体积是一致的.例2计算积分，其中D是正方形区域：解像这样的正方形区域可以不必画，即得例3计算积分，其中D是由y=x，y=0和所围成的三角形区域.解法1先对y积分.作平行于y轴的直线与积分区域D相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x轴上的投影区间为.解法2先对x积分.作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴的正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为.D在y轴上的投影区间为.故例4计算积分，其中D由y≥0确定

7、.解法1先对y积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线y=0；出口曲线为，因此解法2先对x积分.作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线为，出口曲线为，因此比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.例5计算积分，其中D是由不等式：所确定的长方形区域.解这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先对x积分，需用分部积分法.如先对y积分则不必，计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即例6计算，其中D由不等式及所确定.解法1化

8、为先对y积分后对x积分的二次积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为，出口曲线为y=x，因此x轴上的积分区间为[1,2].解法2化为先对x积分后对y积分的二次积分.作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子区域.在y轴上的积分区间为当时，平行于x轴的直线与区域D相交时，沿x轴正方向看，入口曲线为，出口曲线为x=2.当时，平