§6.8二重积分的计算.ppt

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1、§6.8二重积分的计算计算方法：把二重积分化为两次定积分来计算1yx面积元素6.8.1在直角坐标系下二重积分的计算2先后的两次积分.记作:1.积分区域为:X—型区域o3不妨设由几何意义知:故即42.积分区域D为Y—型区域先后的两次积分.5说明3).如果平行于坐标轴的直线与积分区域D的边界交点多于两点，则作辅助线把D分为若干X-区域或Y-型区域.1).积分区域D为矩形2).若被积函数f(x,y)=f1(x)f2(y),积分区域D为矩形6步骤：（2）写出区域D上的点的坐标满足的不等式，从而定出积分的上下限.2.在x轴上[a

2、,b]内任取一点x，做x轴的垂线，垂线落在D内的线段，y从φ1(x)到φ2(x)说明二重积分化为两次积分时，确定积分限是关键.（1）画出区域D的图形1.x从a到b,例：若D为X-区域o7例1.化二重积分为两次积分.解:画草图,或8解:或例2.交换积分次序9解123+例3.交换积分次序10例4.计算其中是由直线所围.解:画草图,另解:11例5.计算其中由所围.解:画草图另解：12解:画草图,所围.例6.计算注意选择积分次序的原则：1.积分区域,尽量避免分块;2.被积函数,第一次积分易积.或:不能计算13例7.用二重积分计

3、算由所围成的图形的面积.解:画草图,或14例8.求两个底圆半径等于R的直交圆柱所围成的立体的体积.解.建立坐标系如图,两圆柱面的方程为:由对称性知,所求体积为第一卦限部分的8倍.所求体积yxRRxyzoRR15o在极坐标系中M点的极坐标代表以极点为圆心的圆代表从极点出发的一条射线极坐标系2、在极坐标系下二重积分的计算16在直角坐标系中o在极坐标系中171.极点在区域之外.182.极点在区域的边界上.3.极点在区域之内.一般,积分区域为圆形、扇形或环形时，或者被积函数为利用极坐标计算比较简单.19解.画草图例1.计算所围

4、第一象限部分.,D由圆周及直线1212o20,例2.计算解:画草图.121解:画草图.例3.计算,2o22解.画草图例4.计算所围第一象限部分.,由圆周及直线1313o23例5.求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.解:由对称性知,所求体积为第一卦限的4倍.2a2a24