二重积分的计算ppt课件.ppt

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1、*三、二重积分的换元法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法引例:曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的一、利用直角坐标计算二重积分同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则例.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的

2、闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则例.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则解2:先对y后对x积分,例.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.及直线例.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,解说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则解例计算积分二重积分在直角坐标下的计算公式［X－型］［Y－型］（在积分中要正确选择积分次序）对应有二、利用极坐标计

3、算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为即设则特别,对若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)例.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注:利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用上例的结果,得①故①式成立.例.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知解内容小结二重积

4、分在直角坐标下的计算公式［X－型］［Y－型］（在积分中要正确选择积分次序）则极坐标系情形:若积分区域为计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式充分利用对称性应用换元公式解：原式1.给定改变积分的次序.2.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换3.计算其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.4.交换积分顺序提示:积分域如图例.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为