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1、利用直角坐标系计算二重积分小结利用极坐标系计算二重积分doubleintegral二重积分的换元法﹡第二节二重积分的计算法第九章重积分1本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).二重积分的计算法2(1)积分区域为：其中函数X－型在区间上连续.二重积分的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分3计算截面面积(红色部分即A(x0))＊二重积分的计算法以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间为曲边的曲边梯形.为底,曲线4是区间为底,曲线为曲边的曲边梯形.有:＊二重积分的计算法称为先对y
2、后对x的二次积分(累次积分))(0xA5(2)积分区域为：Y－型先对x后对y的二次积分也即二重积分的计算法其中函数在区间上连续.6特殊地如D是上述矩形域,得即等于两个定积分的乘积.注D为矩形域:则则a≤x≤b,c≤y≤d二重积分的计算法7穿过区域且平行于y轴的直线穿过区域且平行于x轴的直线abdc计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:X型区域的特点:Y型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.但可作出适当选择.二重积分的计算法8(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须
3、分割.二重积分的计算法9例解积分域既是X型又是Y型法一所围平面闭区域.两曲线的交点二重积分的计算法10先对x后对y的积分法二二重积分的计算法11例siny2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:二重积分的计算法12oxy二重积分的计算法13例交换积分次序：解积分区域:原式=二重积分的计算法14例解原式=交换积分次序：二重积分的计算法15交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分
4、区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;二重积分的计算法16二重积分的计算法二次积分一定能交换次序答不一定!例如:由于故所以▲17二重积分的计算法例如:由于故所以说明:当f(x,y)在所考虑的区域上连续时,二次积分可以交换积分次序.▲181990年研究生考题,填空,3分解二重积分的计算法练习交换积分次序19又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.二重积分的计算法20例求证左边的累次积分中,积分域可表为提示定积分与积分变量的记法无关不能具体计算.所以,是y的抽象函数,证毕
5、.先交换积分次序.二重积分的计算法21例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及解求所围成的立体的体积.二重积分的计算法还有别的做法吗▲22二重积分的计算法2002年研究生考题,7分练习计算二重积分其中解设23解计算积分不能用初等函数表示,先交换积分次序.练习二重积分的计算法24作业1习题9-26.(2)(4)(5)9.1.(2)(4)2.(2)(4)4.(3)25两相邻弧半径平均值.内取圆周上一点其直角坐标则设为二重积分的计算法二、利用极坐标系计算二重积分26得即也即极坐标系中的面积元素二重积分的计算法27(1)积分区域D:θ二重积分的计算法θ28(2)积分区域D(曲边扇形
6、):二重积分的计算法29极坐标系下区域的面积(3)积分区域D:注一般,在极坐标系下计算:θ二重积分的计算法30解例写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式,在极坐标系下圆方程为直线方程为二重积分的计算法31解a例计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下二重积分的计算法32解求反常积分例显然有二重积分的计算法33又二重积分的计算法对称性质34概率积分夹逼定理即所求反常积分二重积分的计算法35解计算所围成的平面闭区域.例及直线二重积分的计算法36解双纽线求曲线所围成的图形的面积.例根据对称性有在极坐标系下二重积分的计算法由得交点面积37将直角坐标系下累次积分:
7、化为极坐标系下的累次积分.oxy解练习原式=二重积分的计算法381994年研究生考题,填空,3分解极坐标二重积分的计算法39计算二重积分二重积分的计算法2003年研究生考题(数学三、四)计算,8分其中积分区域答案40计算因被积函数D2极坐标例分析故的在积分域内变号.D1二重积分的计算法41计算解积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.则D1练习二重积分的计算法42二重积分的计算规律再确定交换积分次1.交换积分次序:先
