二重积分的计算法.ppt

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1、*四、二重积分的换元法第二节二、利用直角坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第十章下页一、曲顶柱体体积的计算(二重积分几何意义)对于平面区域称D为X-型区域.○、平面区域的两种基本类型下页对于平面区域称D为Y-型区域.一、曲顶柱体体积的计算-几何意义设曲顶柱体的底为任取平面截面积为截柱体的O一、曲顶柱体体积的计算-几何意义设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为(元素法)截面积为截柱体的记作下页先写类型积分限类型积分后计算同样,曲顶柱体的底为则其体积可这样计算:下页先写类型积分限类型积分后计

2、算例1.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:设两个圆柱面的方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为所求体积为下页其底为且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X-型区域则若D为Y-型区域则二、利用直角坐标计算二重积分下页均非负因此上面讨论的累次积分法仍然有效.下页当被积函数在积分域上变号时,所述方法仍可用.这是因为:说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则下页例

3、2.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1将D看作X-型区域,则解法2将D看作Y-型区域,则下页例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则下页例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.下页例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则下页例6.计算其中D由所围成.(奇函数示例)解:令(如图所示)显然,下页说明说明:如图作辅助线,D1分

4、成两部分:D12D11奇函数对称区间返回三、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数,增量为△r,下页分划区域D.射线=常数,增量为△,三、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数,增量为△r,下页分划区域D.射线=常数,增量为△,又故设则特别,对下页此时若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)下页例7.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用由于故直角坐标计算.下页注:利用上题可得一个在概

5、率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式因又下页例8.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知下页练习:计算其中D由曲线与极轴围成.下页转小结→*四、二重积分换元法定积分换元法满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理.变换:是一一对应的,下页证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,通过变换T,在xOy面上得到一个四边形,其对应顶点为则下页其顶点为同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为下页因此

6、面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,下页例9.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则下页例10.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令则下页例11.试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.下页内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则下页老式写法则*(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下下页(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函

7、数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先写类型积分限,类型积分后计算)充分利用对称性*应用换元公式下页1.设且求提示:交换积分序得下页思考与练习2.交换积分顺序提示:积分域如图下页作业(习题10-2,P153)(直)1(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);7;8(极)11(1),(2);13(3);14(2);15(1)结束解：原式备用题1.给定改变积分的次序.下页2.计算其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.结束三、利用极坐标计算二重积分(原)对应有在极坐标系下,

8、用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为下页即下页