2019年二重积分的计算法.ppt

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1、第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法（1）1、如果积分区域为D：［X－型］特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得例1计算D解一D：X—型D2、如果积分区域为：D［Y－型］Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.例1计算D解一D：X—型DD解二DY—型3、若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别

2、使用积分公式注意ⅰ）二重积分化二次积分的步骤①画积分区域图；②选择积分次序，写出不等式组；③将二重积分化为二次积分。ⅱ）二次积分中积分的上限不小于下限。ⅲ）若是X—型，就先y后x若是Y—型，就先x后y，注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。若D为X–型区域则若D为Y–型区域则解分析：此类题可先由所给积分画出积分区域图，写出交换次序后的不等式组，最后写出新的二次积分。解积分区域如图分析：略解积分区域如图练习交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则例4计算解DY—型I=

3、若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。由以上例3、例4可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分(如下例），总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。例5计算解D是X—型区域要分部积分，不易计算若先x后y则须分片D易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。解解例8计算解根据积分

4、区域的特点14-12应先对x后对y积分但由于对x的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。先x后y有奇函数化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。以上各例说明二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式［X型］［Y型（在积分中要根据积分区域和被积函数的特征正确选择

5、积分次序）练习题练习题答案练习题答案