第九章2二重积分的计算法ppt课件.ppt

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1、如果积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.二重积分的计算法(1)一、利用直角坐标系计算二重积分应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤①画域，②选序，③定限ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要

2、根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线，若是X—型，就先y后x若是Y—型，就先x后y，注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。解积分区域如图解积分区域如图例3计算D解一D：X—型D解二DY—型例4计算解DY—型I=若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。2121由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式

3、，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。例5计算解D是X—型区域要分部积分，不易计算若先x后y则须分片易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。解D原式解解解解曲面围成的立体如图.例12计算解根据积分区域的特点14-12应先对x后对y积分但由于对x的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。先x后y有奇函数化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题

4、目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。以上各例说明二。关于对称性利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对①若D关于x轴对称②若D关于y轴对称③若D关于原点对称——称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域

5、的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简单地说就是④若D关于直线y=x对称例1设D是xoy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则等于0例2计算下列二重积分：(1)(2),D由所围成的区域，为连续函数．二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式［X－型］［Y－型］（在积分中要正确选择积分次序）思考题思考题解答练习题练习题答案