E10-2二重积分的计算

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1、第二节二重积分的计算法一问题的提出二利用直角坐标计算二重积分三利用极坐标计算二重积分四小结按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的.那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍:一、问题的提出预备知识：(1)曲顶柱体体积：(2)在直角坐标下，二重积分(3)平行截面面积为已知的立体的体积x二、利用直角坐标计算二重积分二重积分仅与被积函数及积分区域D有关,为此,先介绍：1、积分域D:如果积分区域为：［X－型］X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边

2、界的交点不多于两个；b、（1）X-型域X-型域下二重积分的计算:此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形面积为：(曲顶柱体的体积)则由几何意义，若yZ注:若ƒ(x,y)≤0仍然适用。1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-型域先对y积分后对x积分;3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：注意:（2）Y-型域：［Y－型］Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、Y-型域下二重积分的计算：同理：［Y－型域下］于是0xz

3、ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x(y)cyd二重积分的计算（D是曲线梯形区域）0xzycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).y问题：Q(y)是什么图形？D:(y)x(y)cyd也是曲边梯形!.Q(y)=I=二重积分的计算（D是曲线梯形区域）0xzyx=(y)ycdD.D:(y)x(y)cydQ(y)=I=z=f(x,y)x=(y)二重积分的计算（D是曲线梯形区域）1）积分次序:Y-型域,先对x积分后对y积分;2）积分限确定法:“域中一线插”,须用平

4、行于x轴的射线穿插区域。注意:X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.若区域D既是X-型又是Y-型区域，则有积分公式注ⅰ）二重积分化二次（或累次）积分的步骤①画域，②选序，③定限ⅱ）二次（或累次）积分中积分的上限不小于下限ⅲ）二重积分化二次（或累次）积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线。注意：二重积分转化

5、为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。2、利用直角坐标系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分区域类型,确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果.11y=x20yxD2先对y积分（从下到上）1画出区域D图形3先对x积分（从左到右）...y=x...例1计算解：［X－型］［Y－型］例3解：X-型例4解：（如图）将D作Y型-12在二重积分的问题中,还有一类问题是将一种二（累）次积分改变为另一种积分次序的累次积分,其解题步骤是:

6、①由所给二（累）次积分的上下限写出表示积分区域的不等式组;②根据不等式组画出积分区域的图形.③写出另一种积分次序的区域的不等式组;④写出所求的二（累）次积分.解积分区域为于是，将D向y轴投影。解：积分区域如图xyo231原式解：原式例8解：先去掉绝对值符号，如图解1).二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）［Y－型］［X－型］3.小结2).利用对称性计算二重积分：一般地，设在D上连续,则存在ⅰ设D关于y轴对称ⅱ设D关于x轴对称ⅲ设D关于原点对称三利用极坐标系计算二重积分当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示

7、比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。1、直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：2极坐标系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进(入）点，穿出点的极径得到其上下限。将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。

8、1、当极点O在区域D外时（1）区域如图1具体地图1（2）区域D如图2图22、当极点在区域D的内部区域如图3图33、当极点O在区域D的边界上区域如图4图4计算二重积分时，应注意：坐标系选取：当积分区域是圆、扇形或环形域，或被积函数中含有或时，可考虑选用极坐标系.例