D67-2二重积分的计算

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1、第七节二、利用直角坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算第六章一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作同样,曲顶柱体的底为记作二重积分二次积分(累次积分)曲顶柱体体积也可按如下计算在D上连续,则二、利用直角坐标计算二重积分D称为X-型区域：过D内部且平行于y轴的直线与D的边界最多交于两点。积分区域D为在D上连续,积分区域D为则D为Y-型区域：过D内部且平行于x轴的直线与D的边界最多交于两点。说明:为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分区域既是X-型区域又

2、是Y-型区域,(1)二重积分要根据积分区域的特点，来计算。化为两次积分(3)若积分域较复杂,X-型域或Y-型域,则(4)设如果分别在[a,b]和[c,d]上可积，则在D上可积，且可将它分成若干例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.及直线例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则解法2.将D看作Y-型区域,则例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,将D看作Y-型区域及直线则例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:因此取D为X-型域:说明:

3、有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.因为取D为Y-型域无法计算，解积分区域如图例4.解积分区域如图例5.解例6.P26631(3)(4)(6)(7)(8)；32(3)(4)(5)；第二节作业1.二重积分的极坐标形式以x轴正半轴为极轴建立极坐标系。用射线，及同心圆分划区域D。假设从极点O出发的直线与区域D的边界至多交于两点。小区域的面积为三、利用极坐标计算二重积分即极坐标下的面积元素为d对应有在内取点于是根据二重积分的定义，有当被积函数用极坐标变量表示简单。考虑用极坐标计算二重积分：例如：被积函数含有x2+y2项，积分区域D为圆域，环域，扇形区域。积分区

4、域D的边界用极坐标表示更方便；设则对2.二重积分的极坐标计算对若f≡1则可求得D的面积与定积分计算面积一致.例1下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试解:问r,的变化范围是什么?(1)(2)(1)(2)例2已知积分区域D是由解:积分域如图围成，则在极坐标下的二次积分？例3求其中区域D是由解:在极坐标系下原式=故围成的。D例4计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式又解一：解解二：解例5.内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分

5、区域为则若积分区域为则则极坐标系情形:若积分区域为在有界闭区域D上连续,(1)域D关于x轴对称,二重积分关于对称性的应用(2)域D关于y轴对称,(3)域D关于原点对称,在第一象限部分,则有(4)域D关于y=x对称，则例.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,P26732(3)(4)(5)；33(1)(3)(5)；第二节作业下节课习题课，做课后习题(A)(B);复习第五、六章内容，5月8日(周3)进行期中考试。补充：利用二重积分求立体体积其上下顶面分别是曲面则该立方体的体积等于区域D上以曲面为顶的曲顶柱体积D上以曲面减去区域D为顶的曲顶柱体积。即交线投影根据

6、二重积分的几何意义，我们可以利用二重积分计算立体体积。如图，空间内一立方体。D关键：分析得到积分区域D的表达式积分区域D是由两个曲面交线在xOy面上的投影曲线所围成。曲面交线：在xOy面上的投影曲线：例求曲面和所围成的有界体的体积。解：两旋转抛物面的交线为其在xOy面上的投影为所以在xOy面上积分区域用极坐标表示为即xOy面上的圆例.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知圆的极坐标方程为曲顶柱体的顶为例.求由曲面所围立体的体积。解:圆柱体积V1立体的体积可以看成是于是减去曲顶柱体体积V2V2的底是区域V2的顶是体积也可以直接由求得。

7、也可用定积分求旋转体体积。例交换积分顺序解:积分域如图