二重积分习题课.ppt

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1、第十章习题课（一）一、二重积分基本概念二、直角坐标下计算二重积分三、极坐标下计算二重积分二重积分概念与计算内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为X型则若积分区域为Y型则则﹡(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先找两端点，后积一条线)充分利用对称性应用换元公式设函数(上下对称)D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴

2、对称（左右对称）,函数（看x)关于在D上在闭区域D上连续,区域D关于x轴对称则（变量看y)则变量x有奇偶性时,仍有类似结果.二重积分的对称性在第一象限部分,则有二重积分的对称性特别重要！如，D1为典型例题例1.设且则分析:交换积分顺序后,x,y互换等于（）例2．设f(x)为连续函数，，则等于（）.B.C.D.0A.分析：.交换积分次序，变成定积分积分上限函数选B.BO.x.y.t.1.y=x.1.例3.设是由曲线和围成的平面区域，则A.等于0B.符号与有关，与C.符号与有关，与无关D.符号与、都有关.（）无关分析：.如图：.x.y.o.由

3、积分区域的对称性选C.C例4.设连续,且是由围成,则（）A.B.C.D.分析：.注意到二重积分是数，故设.则.o.u.v.选C.C.例5.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,在上在上(-1,0)(1,0)例6则分析:如图,由对称性知在上是关于y的奇函数在上是关于x的偶函数A，其中为圆周所围成的闭区域。.例7解：如图由积分区域的对称性，有例8.计算其中是由及所围成的区域，是上的连续函数.解：如图做辅助线将区域分成两部分D1，D2，D1D2例9.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,例

4、10.交换积分顺序解:积分域如图解：原式例11.给定改变积分的次序.,其中例12.计算解：如图为去掉绝对值，做辅助线将区域分成两部分D1，D2，D1D2由积分区域的对称性，有例13.解:.例14.计算解：如图124（2,2）（1,1）例15.设区域是中心在原点，半径为的圆盘，求解：如图由积分中值定理，存在使于是=1或者由洛必达法则=1例16.设二元函数解：当时，计算其中由对称性当时，于是，其中为圆周所围成的闭区域。.例17.解：如图由积分区域的对称性，有例18.设f(x)是在[0,1]上连续，单调减少的正值函数，证明:证明:∵x∈[0,1

5、]且f(x)>0,∴上述四个积分都大于零令变成二重积分交换变量符号于是，将上两式相加，得因f(x)单调递减，所以当时当于是总有从而有例19.设f(x)在[0,1]上连续，证明:证明:因为D关于x=y对称，所以设所以(交换变量符号)例20.设为可微函数且证明：证明：例21.设在单位圆上有连续偏导数,且在边界上证明：取值为零，证明：令则从而因为在单位圆的边界上取值为零，则当时，因此故由积分中值定理