高等数学下104重积分应用.pdf

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1、§4.重积分的应用一、在几何上的应用1.面积平面图形的面积设D为平面上的有界闭区域，则D的面积d.D例1求由ra,r2acos确定的平面图形的面积.解d,ra,DDr2acos1cos(,),(,aa),2332cosa23D:,23drdra().330a23aar2cos.曲面的面积引理平面与的夹角为,π1上的区域A在π2上的投影为σ,则面积A注：这里即两平面法矢量的夹角cos当A是矩形,且一边与l平行证则也是矩形,且1ab

2、

3、cos

4、A

5、cosγ

6、引理成立bA当A不是矩形,a一般情况，将A分割成若干个上述类型的小矩形，l对每一个用引理，2.然后迭加.再取极限即可。z曲面的面积z=f(x,y)SiP1.设曲面的方程为：izf(x,y),(x,y)D.xy0计算曲面的面积A.xiy(x,y).iiDziAncos曲面的面积iz=f(x,y)SASiiiAi1PiAi（由引理）icosi1(fxyfxy22,)(,)xiiyiii0nifxyfxyxiiyii(,),(,),1x1

7、cos,221ffxy.iy(x,y).iiD.dS22S1(f22x,yf)(x,y)dxdy1ffxydxyD空间曲面的面积1.曲面方程为：zf(x,y),(x,y)Dxy.1d,dSdA,cos22coszz1xy22于是zzdS1dxy22即dS1ffd(曲面的面积元素)xy22于是曲面的面积为：S1,ffdxyDxy22zz即A1

8、dxdyDxyxy空间曲面的面积1.曲面方程为：zf(x,y),(x,y)Dxy.22zz即A1dxdy同理可得Dxyxy２．设曲面的方程为：xg(y,z),(y,z)Dyz22xx曲面面积公式为：A1dydz;Dyzyz３．设曲面的方程为：yh(z,x),(z,x)D.zx22yy曲面面积公式为：A1dzdx.Dzxzx2222例2求球面xyza，含在圆柱体22xy

9、ax内部的那部分面积.解由对称性知,A4A1z1y0x2222例2求球面xyza，含在圆柱体22xyax内部的那部分面积.解由对称性知,A4A1D：221xyax(x,y0)racos曲面方程,222zaxyA1f2f2d,xyaDxy于是221zz222,xyaxya224dxdyA41zxyzdxdy222D1D1axyzacosy214adrdr222a4a.00ar22ox2222z例3求由曲面xyaz和z2axy(a0)所围立体的表

10、面积.22A1ffd,xyDxy22xyaz解解方程组,yO22z2axyx222xya得两曲面的交线为圆周,za在xy平面上的投影域为D:xya222,xy由z1(x2y2)得2x2yzx,zy,aaa2222例3求由曲面xyaz和z2axy22A1ffd,(a0)所围立体的表面积.xyDxy222在xy平面上的投影域为Dxy:xya,1222x2y由z(xy)得zx,zy,aaa2211z2z22x2ya24x24y2,xy1

11、aaayx22zz由z2axy知xy2222xyxy2222xy1zz12,xy2222xyxy2222例3求由曲面xyaz和z2axy22A1ffd,(a0)所围立体的表面积.xyDxy222在xy平面上的投影域为Dxy:xya,122z由z(xy)得a12221z2z2axy44,xya221z2z22,Oy由z2axy知xyx1222故Aa44xydxdy2dxdya下D上Dxyxy22a12adrar224dr2a

12、(62551).00a62.体积设有一个空间立体占据空间区域Ω，则Ω的体积z可表示为:VdV.ΩyO如果可用不等式