(3.7)应用高等数学微积分

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1、一、立体体积二、物体的质心三、物体的转动惯量四、物体的引力3.7三重积分的应用1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性从定积分定义出发建立积分式用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域的立体的体积为例1.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为二、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间

2、域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点同理可得则得形心坐标：例2.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为h的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为三、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转

3、动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量解:取球心为原点,z轴为l轴,则球体的质量例3.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)G为引力常数四、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为例4.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量点为球的质量