高等数学-微积分公式

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1、3.2微积分基本公式3.2.1原函数和不定积分的概念3.2.2基本积分表3.2.3微积分基本公式3.2.1原函数和不定积分的概念一、案例二、概念和公式的引出一、案例[路程函数]已知物体的运动方程为，则其速度为这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如何求物体的运动方程s(t)呢？二、概念和公式的引出如果在开区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即当时,或则称函数F(x)是函数f(x)在区间I内的一个原函数．原函数若是函数在开区间内的一个原函数，即其它符号的名称与定积分中的名称一致．不定积分在该区间内的不定积

2、分，记作称为为任意常数）的所有原函数的表达式则（C称为积分常数，或或函数的不定积分与导数（或微分）之间的运算关系：3.2.2基本积分表一、案例二、概念和公式的引出一、案例[幂函数的不定积分]于是类似地,由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．因为是的一个原函数1.基本积分表(1)为常数）((2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)二、概念和公式的引出(9)(10)(11)(12)(13)2、不定积分的性质即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差）。性质１可推广到有限个函数的情形．为常数即被积函数中不为０的常数因子可以提到积分号外．(1)性质1

3、(2)性质23.2.3微积分基本公式一、案例二、概念和公式的引出三、进一步练习列车快进站时必须减速．若列车减速后的速度为（km/min），问列车应该在离站台多远的地方开始减速？解由变速直线运动路程的计算，有当列车速度为时停下，解出（min）一、案例[列车制动]，且因此，求即s（3)转化为求s(t),而（km）即列车在距站台1.5km处开始减速．由速度与路程的关系知路程满足列车从减速开始到停下来的3min内所经过的路程为将s(0)=0代入上式，得C=0，故原函数，则此公式称为微积分基本公式，也称为牛顿－莱布尼兹公式．是连续函数在区间若函数上的一个二、概念和公式的引出微积分基本公式2

4、、定积分的性质即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)．性质１可推广到有限个函数的情形．为常数即被积函数的常数因子可以提到积分号外．(1)性质1(2)性质2牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把定积分的计算归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.练习1[运动方程]已知一物体作直线运动，(1)求速度v与时间t的函数关系；(2)求路程s与时间t的函数关系．三、进一步的练习且当时，加速度为解(1)由速度与加速度的关系知

5、速度满足且求不定积分，得将代入上式得C=2．所以(2)由路程与速度的关系，知路程满足且求不定积分，得将代入上式得C=3．所以练习2[磁场能量]在电压和电流关联参考方向下，电感元件吸收的功率为在dt时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从0增大到i时，电感元件储存的磁场能量为由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流建立的过程无关。练习3[电流函数]若t=0时i=2A，求电流i关于时间t的函数.一电路中电流关于时间的变化率为解由得将代入上式得C=2．所以练习4[结冰厚度]起到时刻t(单位：h)冰的厚度（单位：cm），t是正的常数．求

6、y关于t的函数．给出，其中是自结冰池塘结冰的速度由解由,得其中t=0开始结冰，此时冰的厚度为0，即有y(0)=0代入上式，得C=0.所以