高等数学(微积分)

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1、高等数学（微积分）函数极限：函数定义：在某变化过程中有两变量，与。若变量在可取值范围内，任取一个值通过时应关系，都有一个值与之对应，则是的函数，记作：极限定义：设，为定数。当无限变大时，无限地接近于定数，则称以为极限，记作：极限性质：若有极限，则极限值唯一收敛数列一定是有界数列左右极限：左极限：右极限：无穷大，无穷小：无穷小：若，则称变量为无穷小量性质：有限个无穷小量的代数和等于无穷小有限个无穷小量的乘积等于无穷小有界变量乘以无穷小仍等于无穷小有极限的变量乘以无穷小等于无穷小无穷大：若，则称变量为无穷

2、小量性质：有限个无穷大的乘积等于无穷大有界变量乘以无穷大等于无穷大两个重要极限：两个准则：若函数，，满足，，则单调有界数列一定有极限函数的连续性：改变量：变量由初值，改变到终值，则称差为变量的改变量，记作：，即连续定义：①设在有意义，若，则在点处连续，反之（）则在点处不连续，且为的间断点②若在点处满足：存在、存在、，则在点处连续；反之，当条件不满足任何一条时，则为的间断点③若在内每一点都连续，则在内连续④若在内连续且，，则在内连续左右极限定理：极限存在准则II公式：利用等价无穷小求极限：设，若，则是的

3、高阶无穷小；若，则是的低阶无穷小；若，则是的同阶无穷小；若，则是的等价无穷小，记作：等价公式：当时，介值定理：零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即：），那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少一点使介值定理：设函数在闭区间上连续，且在此区间的端点取不同的函数值，及，那么，对于与之间任意一个数，在开区间内至少有一点，使得（）连续的性质：最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值有界性定理：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界无穷大和无穷小的关系：时，，是无穷大量时，，是无穷大

4、量无穷大比无穷大（）型的结论：分母次数高于分子次数时，值为分母次数等于分子次数时，值为无穷大分母次数低于分子次数时，值为最高次数幂的系数之比极限运算例题：解：极限运算：零比零型运算（消下因子）：无穷比无穷型运算：极限运算：解：解：解：（零比零型）解：设，则∴无穷小比较：导数与微分：导数的概念：（曲线的函数为，，）割线的斜率：切线的斜率：导数定义：设在有定义，若存在，则此极限值为在点处的导数，记作：或、、左导数：右导数：综上：存在，且若在内每一点都可导，则函数在内可导导函数：为的导函数连续与导数的关系：

5、若在处可导，则在处可导必连续，反之，不一定成立导数的几何意义：在处的导数为斜率切线方程：法线方程：导数的计算：求导公式：求导法则：设，，（为常数）例题：设，求解：∴设，存在吗？解：∵左导数：右导数：∵左导数和右导数都存在，但∴的极限不存在，讨论的值，过点是否有切线？解：∴不存在复合函数求导：设由和复合而成，则或例题：解：设；，则；∴解：解：解：解：解：高阶导数：设，则为一阶导数；为二阶导数；为三阶导数，…二阶以上的导数，称为高阶导数，记作：，（），则或高阶导数的莱布尼兹（）公式：高阶导数例题：，求解：

6、；；；；；；，求解：，求解：，求解：设；，则，（）隐函数求导：显函数隐函数，以方程形式所表示的函数例题：，求的值解：，，∴，∴∴∴，求切线方程（提示：）和二阶导解：∴∴切线方程：或对数求导法：幂指函数：（）解：①两边取对数（以为底）：两边求导：，（）②∵∴又∵∴解：解：解：参数方程求导：若方程，（为参数），确定了关于的函数，则对的导数为：，例题：，（为参数），求，解：反函数求导：设的反函数为，则反函数的导数为微分定义：设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果因变量的增量，则（不依赖于的常数，是比高阶

7、的无穷小）∴函数在点是可微的，而是函数在点相应于自变量增量的微分，记作：；则导数与微分的关系：定理：若在点处可微的充分必要条件：在处可导，则可微必可导，可导必可微结论：微分公式和微分计算公式：微分公式函数四则运算微分公式：，，（为常数）微分近似计算：公式：例题：，求解：∴导数应用及中值定理：罗尔（）中值定理：如果函数满足：①在闭区间上连续；②在开区间上可导；在区间端点的函数值相等，即∴在内至少有一点，使函数在该点的导数为，（斜率为）拉格朗日（）中值定理：①如果函数满足：在闭区间上连续；在开区间内可导∴

8、在区间内至少有一点，使等式②如果在区间内的导数为零，那么在内是一个常数③若在区间，，即罗比塔法则：定理：设当时，函数及都趋于零；在点的某个去心领域内，及都存在，且；存在（或为无穷大）∴（仅限用部分定式）示未定式包括：零比零型、无穷大比无穷大型、无穷小乘无穷大型、的无穷大次方型、的无穷小次方型、无穷大减无穷大型极限例题：（零比零型）解：解：解：解：（无穷大比无穷大型）解：解：解：验证极限存在，但不能用罗比塔法则求出极限解：不存在∵导数比值的极限不存在∴不能