高等数学电子教案第12章-13.doc

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1、一、微分方程组微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组.注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数.常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组.二、常系数线性微分方程组的解法步骤：1.从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的髙阶常系数线性微分方程.2.解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数.3.把已求得的函数带入原方程组，一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数.解之得通解z=(Cx+c2xk(5

2、)再把(5)代入⑶式，得J=

3、(2CX+C2+2C2x)ex.原方程组的通解为y=—(2CX+C2+2C2x)ex2z=(Cj+C2x)ex用O表示对自变量x求导的运算ax例如，⑻+4/"++…十^’+^二/⑻用记号D可表示为(ZT+alD"1+…+a,X(x)注意:D”+axDni+…+a^D+an是D的多项式可进行相加和相乘的运算.例2歷分方難塔dt2+变-x=edtdx4dt+y=0.解用记号Z)表示f,则方程组可记作dtUD2-V)x+Dy=el⑴[Dx+(D2+l)j=0(2)类似解代数方程组消去一个未知

4、数，消去x⑴-(2)xD:-x-D3y=e(3)(2)-(3)xD:(-D4+D2+l)j=Dez.(4)即(-D4+D2+l)j=ef(5)非齐线性方程其特征方程为-r4+r2+l=0解得特征根为易求一个特解j*=ez,于是通解为J=C,e+C2e+C3cospz+C4sin^t+e1.(6)将(6)代人(3)得x=-p3C3cospf+p3C4si乖-方程组通解为X=a3Cxe-aZ—^C2e^-p3C3cospr，+p3C4sinpr-2ezj+C2e^+C3cospr+C4sinpr+ef注意：在求得一个

5、未知函数的通解以后，再求另一个未知函数的通解时，一般不再积分.三、小结1.注意微分算子D的使用；2.注意求出其中一个解，再求另一个解时,宜用代数法，不要用积分法.避免处理两次积分后出现的任意常数间的关系.练习题、求下列微分方程组的通解:2.2.dxdydtdtdxdydtdt=—x+j+3,=x+j-3;2.2x+变+J=Z，(Itay5x+dt+3y2.r=o2.二、求下列微分方程组满足所给初始条件的通解:2^~4x+^~y=e^x卜”=0,,，=o=0.练习题答案1(x=3+Cxcost+C2sint^[y=

6、—CsinZ+C2cost;C.-3C2.3C.+C22,x=smtcost-t+t+3.2.55[j=Cxcos^+C2sinZ+2^2-3Z-4.x=cosZ,1.y=sin/;x=2cosf-4sinf——e2.2y=14sinf-2cosf+le.