高等数学电子教案第12章-11.doc

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1、一、欧拉方程形如x'y'”+…+凡,_汐'+八^=/(x)的方程(其中A，A…A为常数)叫欧拉方程.特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同.解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.作变量变换x=e'将自变量换为“或r=ln«r，dy_dydtdxdtdx-I]用D表示对自变量t求导的运算at上述结果可以写为xyf=Dy,xV=g-=(D2-D)j-1)j，atatX3r=q：_3£z+2^dtdtdt=(D3一3D2+2D)y=D(D一1)(D—2)y,般地，xky{k}=D(D-1)(D-k+l)y.将上式代入欧拉方程，则化为以

2、f为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后,把换为Inx，即得到原方程的解.例求欧拉方程x3y,,f^x2y,,-4xyf=3x2的通解•解作变量变换x=e｛或f=lnx，原方程化为D(D—1)(Z>—2)y+D(D一l)y一4Dy=3e2t即D3y-2D2y-3Dy=3e2t,(1)方程(1)所对应的齐次方程为其特征方程r3-2r2-3r=0,特征方程的根为=0,r2=-1,r3=3.所以齐次方程的通解为Cr=+W=+匕+c3x设特解为J*=be21=bx1代入原方程，得b=—Bpy*=一~，C1所给欧拉方程的通解为j=C1+^+C3x3--x2X厶二、小结欧拉

3、方程解法思路变系数的线变量代换常系数的线性微分方程x=e'或f=lnx性微分方程注意：欧拉方程的形式.练习题求下列欧拉方程的通解1.x2yH+xyf-y=0;2.x2yff—2xyf+2y=In2x—21nx;3.x2yrf—3xyf+4y=x+x2lnx.练习题答案2.y=CYx+C2x2+-(ln2x+lnx)+-.3.y=Crx2+C2x2lnx+x+-x2ln3x.一6