高等数学电子教案第9章-2(3).doc

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1、一、二重积分的换元法平面上同一个点，直角坐标与极坐标之间的关系为Ix=rcos0^y=rsinQ.上式可看成是从直角坐际平面rae到直角坐标平面xay的一种变换，即对于ro0平面上的一点M'（r，0）,通过上式变换，变成平面上的一点且这种变换是一对一的.定理设/(X，j)在xoy平面上的闭区域Z＞上连续，变换T:x=x(w,v),j=j(w,v)将uov平面上的闭区域D'变为平面上的£＞，且满足(1)x(w,v),j(w,v)在D'上具有一阶连续偏导数(2)在Z)'上雅可比式J(w,v)=

2、^4^0;O(U^V)⑶变换T:Df^D是一对一的，则有y^L例1计算jjey+xdxdy,其中

3、D由x轴、y轴和直D线x+y=2所成的闭区域解^u=y-x^v=y+x^则又=V-uD->D’，艮Px=0->u=—v;j=0->w=v;x+j=2->v=2.a（x，jod（u，v）故JJey+xdxdy=jjeDD922办，其中D为dU例2计算JJD22^+^=1所围成的闭区域.解：广义极坐标变冰=:rC0，[y=brsin0，其中a>0，ft>0,r>0,0<0<2k.在这变换下D-^Dr={(r,0)

4、0

5、ab3二、小结1.作什么变换主要取决f积分区域D的形状,同时也兼顾被积函数f(x9y)的形式.基本要求:变换后定限简便，求积容易.2，二咐，J)二1*d(u,v)a(x，jo思考题计％^a1=0和｝=0所围成.其中D:思考题解答雅可比行列式/=变换后区域为Dx+j=1W=1Dx+j=1W=1x=0=>w-j=0=>v=v=0=0i[^-e(x+y)2da=1U2=jduj--eudv00Mh’么+-1).练习题一、作适当的变换，计算下列二重积分：1、

6、Jx2j2JxJj,其中D是由两条双曲线X_y=l和xy=2,直线=x和｝=4x所围成的在第I象限的闭区域.2、jj(x2+y2)d

7、xdy｝其中》是椭圆区域：Dx2+4j2<1.二、设及是由曲线J=x3j=4x3，x=/,x=4/所围成的第I象限部分的闭区域,求其面积.三、iSiiE：fJf(ax+by+c)dxdyD=2jy!l—u2f(u^a2+b2+c)duf^!=fP为x2+y2<1，且a2+b2^0.练习题答案一、1、-ln2；32